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Matthieu Mathématiques Expertes TG2 FARGES Tiers temps Exercice 1 Etant donné q

Matthieu Mathématiques Expertes TG2 FARGES Tiers temps Exercice 1 Etant donné que d divise n²-3n+6 et n-1, d divise toute combinaison linéaire de n²-3n+6 et de n-1 : d=u(n²-3n+6)+v(n-1) d=1(n²-3n+6)+n(n-1) d=n²-3n+6+n²-n d=-4n+6 Or d divise toute combinaison linéaire de -4n+6 et de n-1, d divise donc toute combinaison linéaire de -4n+6 et de n-1. d=u(-4n+6)+v(n-1) d=1(-4n+6)+4(n-1) d=-4n+4n+6-4 d=2 Prenons tous les diviseurs de d=2 : -2 ;-1 ;1 ;2 Or -2 et -1 ne sont pas des entiers naturels, nous pouvons les retirer de la liste, vérifions ensuite si les valeurs trouvé vérifie l’énoncé. n=1 1²-3*1+6=1-3+6=4 n=2 2²-3*2+6=6-6+4=4 Exercice 2 Hypothèse de récurrence : un est divisible par 8 Initialisation : n=1 u1=51+2*31-1+1 u1=5+2*1+1 u1=8 P1 est vérifiée, donc l’initialisation est prouvée. Hérédité : Soit n un entier naturel non nul quelconque pour lequel un est divisible par 8, vérifions si cela est vrai pour le rang un+1. un=5n+2*3n-1+1 un+1=5n*5+2*3n-1*3+1 il existe un entier k naturel tel que 5n+2*3n-1+1=8k supposons qu’il existe k’ un entier naturel tel que un+1=5n*5+2*3n-1*3+1=8k’ 8 divise donc toute combinaison linéaire de 5n*5+2*3n-1*3+1 et de 5n+2*3n-1+1. 8k’’=u(5n*5+2*3n-1*3+1)+v(5n+2*3n-1+1) 8k’’=1(5n*5+2*3n-1*3+1)-1(5n+2*3n-1+1) 8k’’=5n*5-5n+2*3n-1*3-2*3n-1+1-1 8k’’=5n(5-1)+2*3n-1(3-1)+0 8k’’=5n(4)+2*3n-1(2)+0 8k’’=4*5n+4*3n-1 8k’’=4(5n+3n-1) si k’’=1/2 alors un+1 est divisible par 8. L’hérédité est donc prouvée. Conclusion : L’hérédité et l’initialisation ayant toutes deux été prouvées, 8 divise effectivement 5n+2*3n-1+1 pour toute valeur de n supérieure à 0. Voisin de gauche : Léonard Navizet Voisin de droite : Le mur Matthieu Mathématiques Expertes TG2 FARGES Tiers temps Exercice 3 : 4x²=9y²-17 4 x 2=9 y 2−17 x=√ (9 y 2−17) 4 il existe x un entier relatif tel que 4 divise x² en résulte 9y²-17 […] Exercice 4 A. Notons Vn =un+1+3un un+1=(4(n+1)-1)²-3+2(-3)n+1 un+1=16(n+1)²-2*4(n+1)+1-3+2*-3*(-3)n un+1=16(n²+2n+1)-2(4n+4)-2-6*(-3)n un+1=16n²+32n+16-8n-8-2-6*(-3)n un+1=16n²+24n+6-6*(-3)n Vn =un+1+3un Vn =16n²+24n+6-6*(-3)n +3((4n-1)²-3+2*(-3)n) Vn =16n²+24n+6-6*(-3)n +3(16n²-8n+1-3+2*(-3)n) Vn =16n²+24n+6-6*(-3)n +48n²-24n-6+6*(-3)n Vn=64n² B. Démontrons par récurrence que un est divisible par 64 pour toute valeurs de n Initialisation : n=0 u0=(0-1)²-3+2*(-3)0 u0=1-3+2=0 0 est divisible par 4. P1 vérifiée pour u0, l’initialisation est donc vérifiée. Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel quelconque n tel que un soit divisible par 64 ; cherchons à vérifier si un+1 est divisible par 64. un=(4n-1)²-3+2(-3)n un=16n²-8n-2+2*(-3)n un+1=16n²+24n+6-6*(-3)n un=16n²-8n-2+2*(-3)n un+1-un=16n²+24n+6-6*(-3)n-(16n²-8n-2+2*(-3)n ) un+1-un=32n+8+4(-3)n Cherchons à démontrer que 32n+8-8(-3)n est divisible par 64 64=32n+8-8(-3)n 64=8(4n+1+(-3)n) 8=4n+1+(-3)n Voisin de gauche : Léonard Navizet Voisin de droite : Le mur Matthieu Mathématiques Expertes TG2 FARGES Tiers temps si n est un nombre pair, alors il existe q un entier tel que k=2q: 8=4*2q+1+(-3)2q 8=8q+1+(-3)2q Voisin de gauche : Léonard Navizet Voisin de droite : Le mur uploads/S4/ controle-mathematiques-expertes-farges-matthieu.pdf