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Département COMELEC UE COM105 Corrigé du TD 6 EXERCICE 1 Soit le code systémati

Département COMELEC UE COM105 Corrigé du TD 6 EXERCICE 1 Soit le code systématique C déﬁnit par les équations de parité suivantes : c1 = d2 + d3 + d4 c2 = d1 + d2 + d3 c3 = d1 + d2 + d4 c4 = d1 + d3 + d4 où [d1, d2, d3, d4] sont les bits d’informations et [c1, c2, c3, c4] sont les bits de parité (bits de redondance) d’un mot de code. Un mot de code s’écrit donc [d1, d2, d3, d4, c1, c2, c3, c4]. 1. Longueur du mot de code n = 8, longueur du mot d’information k = 4 et le rendement r = 1 2. 2. Les mots de code de C sont : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 4 1 0 0 0 0 1 1 1 4 1 1 0 0 1 0 0 1 4 0 0 1 0 1 1 0 1 4 0 1 1 0 0 0 1 1 4 1 0 1 0 1 0 1 0 4 1 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 1 1 0 1 1 4 0 1 0 1 0 1 0 1 4 1 0 0 1 1 1 0 0 4 1 1 0 1 0 0 1 0 4 0 0 1 1 0 1 1 0 4 0 1 1 1 1 0 0 0 4 1 0 1 1 0 0 0 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 8 la distance minimale dmin du code est égale à 4. 3. Le code peut détecter toutes les conﬁgurations de 1, 2 et 3 erreurs et peut corriger toutes les conﬁgurations de 1 erreur. 4. Une matrice génératrice G de C sous forme systématique : G =     1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1     5. La matrice de parité H du code C est : H =     0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1     Le code dual du code C, dont la matrice génératrice est H, est lui même. 1 6. Pour obtenir C′ on élimine de C le mot de code de poids de Hamming 0 et celui de poids 8. Ainsi le nouveau ensemble de mots de code ne forme plus un sous-espace vectoriel de GF 8(2), et donc le code n’est plus un code linéaire. EXERCICE 2 1. Les mots du code de parité C(3, 2) sont : 0 0 7→ 0 0 0 0 0 1 7→ 0 1 1 2 1 0 7→ 1 0 1 2 1 1 7→ 1 1 0 2 La distance minimale du code est dmin = 2. 2. Les mots de code du code C(3, 2) avec une parité impaire sont 0 0 7→ 0 0 1 0 1 7→ 0 1 0 1 0 7→ 1 0 0 1 1 7→ 1 1 1 C n’est pas un code linéaire sa distance minimale est dmin = 2. 3. Le code de parité parce qu’il est linéaire. 2 uploads/S4/ corrige-td6-com105.pdf