c ⃝Christophe Bertault - MPSI Coniques Historiquement, les coniques ont été défi
c ⃝Christophe Bertault - MPSI Coniques Historiquement, les coniques ont été définies par les Grecs comme intersections d’un cône et d’un plan dans l’espace — d’où leur nom. Nous les définirons quant à nous en les observant non pas dans l’espace, mais dans le plan. Le point de vue des Grecs sera tout de même commenté avec quelques figures en fin de chapitre. 1 Définition par excentricité, foyer et directrice Définition (Conique définie par son excentricité, un foyer et une directrice) Soient F un point, D une droite ne contenant pas F et e > 0. On appelle conique d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D l’ensemble C des points M du plan pour lesquels MF = e d(M, D). Ellipse Parabole Hyperbole • Si e < 1, on dit que C est une ellipse. • Si e = 1, on dit que C est une parabole. • Si e > 1, on dit que C est une hyperbole. Explication On peut formuler les choses en termes de lignes de niveau. Soit M un point. Notons H le projeté orthogonal de M sur D, de sorte que d(M, D) = MH. Dans ces conditions : M ∈C ⇐ ⇒ MF = eMH. Mais le point H appartient-il à C ? Si c’est le cas, HF = e × 0 = 0 donc F = H ∈D contrairement à nos hypothèses. Conclusion : H / ∈C, donc MH ̸= 0 pour tout M ∈C. D MF d(M, D) b b H M b F Finalement, C est l’ensemble des points M du plan tels que MF MH = e, i.e. la ligne de niveau e de la fonction M 7− →MF MH . Donnons-nous pour tout le reste de cette partie un point F, une droite D ne contenant pas F et e > 0. Notons C la conique d’excentricité e, de foyer F et de directrice associée D, P le projeté orthogonal de F sur D, et posons d = FP > 0. Par définition, le produit p = ed est appelé le paramètre de C et la droite (PF) est appelé son axe focal. Posons en outre − → I = − → PF d et notons − → J l’unique vecteur pour lequel F, − → I , − → J est un repère orthonormal direct. Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans F, − → I , − → J de projeté orthogonal H sur D : D b P d − → J − → I b F M ∈C ⇐ ⇒ MF 2 = e2MH2 ⇐ ⇒ x2 + y2 = e2(x + d)2 ⇐ ⇒ (1 −e2)x2 + y2 −2epx −p2 = 0. Définition (Conique à centre) On suppose ici que e ̸= 1, i.e. que C est soit une ellipse soit une hyperbole. • Alors C possède un unique centre de symétrie appelé le centre de C. • On note Ωce centre et F ′ (resp. D′) le symétrique de F (resp. D) par rapport à Ω. Alors C est aussi la conique d’excentricité e, de foyer F ′ et de directrice associée D′. En outre F et F ′ sont les deux seuls foyers de C et D et D′ ses deux seules directrices associées. — Pour une illustration de tout ceci, tournez quelques pages. Explication On peut montrer que les paraboles (cas e = 1) n’ont pas de centre de symétrie et qu’elles possèdent un unique foyer et une unique directrice associée. Démonstration Nous prouverons seulement l’existence d’un centre de symétrie. Nous partons de l’équation (1 −e2)x2 + y2 −2epx −p2 = 0 obtenue précédemment dans le repère F, − → I , − → J . Par hypothèse e ̸= 1, donc e2 −1 ̸= 0. Reconnaissant le début d’une identité remarquable, nous en déduisons que l’équation : (1 −e2) x − ep 1 −e2 2 + y2 = p2 1 −e2 est également une équation cartésienne de C. Notons Ωle point de coordonnées ep 1 −e2 , 0 dans F, − → I , − → J et travaillons désormais dans le repère Ω, − → I , − → J . Pour tout point de coordonnées (x, y) dans F, − → I , − → J et (x′, y′) dans Ω, − → I , − → J , les formules de changement de repère sont : ( x′ = x − ep 1 −e2 y′ = y. Dans le repère Ω, − → I , − → J , C a donc pour équation : (1−e2)x′2+y′2 = p2 1 −e2 . 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Montrons finalement que Ωest un centre de symétrie de C. Soit M ∈C de coordonnées (x′, y′) dans Ω, − → I , − → J . Le symétrique M ′ de M par rapport à Ωa pour coordonnées (−x′, −y′) dans Ω, − → I , − → J . Il satisfait donc l’équation précédente : (1 −e2)(−x′)2 + (−y′)2 = (1 −e2)x′2 + y′2 M∈C = p2 1 −e2 , donc est également un point de C. ■ Théorème (Ellipse) On suppose que e < 1, i.e. que C est une ellipse de centre Ω. • L’ellipse C a pour équation x2 a2 + y2 b2 = 1 dans le repère Ω, − → I , − → J pour certains a et b avec 0 < b < a. Cette équation est appelée l’équation réduite de C. • Le réel a est appelé le demi-grand axe de C et b son demi-petit axe. Leurs doubles 2a et 2b sont appelés respectivement le grand axe et le petit axe de C. Les points A, A′, B, B′ de la figure ci-contre sont appelés les sommets de C. • Si on pose c = ΩF : a2 = b2 + c2, e = c a et ΩP = a e . C D′ D b b b b b b b Ω A′ A B B′ P ′ P − → J − → I a c b a e a p b b F ′ F Démonstration • Partons de l’équation (1−e2)x2+y2 = p2 1 −e2 de C dans Ω, − → I , − → J . Multiplions-la par 1 −e2 p2 et, sachant que 0 < e < 1, posons a = p 1 −e2 > 0 et b = p √ 1 −e2 > 0. L’équation devient x2 a2 + y2 b2 = 1, et puisque e > 0, alors b = a √ 1 −e2 < a. • Nous n’avons pas encore expliqué pourquoi les ellipses ont la forme qu’elles ont. Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans Ω, − → I , − → J : M ∈C ⇐ ⇒ x a 2 + y b 2 = 1 ⇐ ⇒ ∃t ∈R/ x a , y b = (cos t, sin t) ⇐ ⇒ ∃t ∈R/ (x, y) = (a cos t, b sin t). Bref, C est le support de la courbe paramétrée t f 7− →(a cos t, b sin t) définie sur R. Comme f(t + π) = −f(t) pour tout t ∈R, on peut se contenter d’étudier f sur un intervalle de longueur π à condition d’effectuer à la fin une symétrie par rapport à Ω. Par parité du cosinus et imparité du sinus, on choisit l’intervalle h −π 2 , π 2 i . Nous nous contenterons donc d’une étude sur h 0, π 2 i et effectuerons à la fin une symétrie par rapport à (Ωx). La fonction t 7− →a cos t est strictement décroissante sur h 0, π 2 i et t 7− →b sin t strictement croissante. En calculant f ′, on montre aisément que f est régulière sur R et que f ′(0) = b − → J et f ′ π 2 = −a − → I (tangentes verticale et horizontale respectivement). Le tracé de C s’en déduit. • Nous l’avons vu, les coordonnées de Ωdans F, − → I , − → J sont ep 1 −e2 , 0 , donc c = ΩF = ep 1 −e2 car 0 < e < 1. Etant données les expressions de a et b en fonction de e et p : a2 = b2 + c2 et e = c a. ■ Théorème (Parabole) On suppose que e = 1, i.e. que C est une parabole, et on note S le milieu du segment FP . La parabole C a pour équation y2 = 2px dans le repère (S, − → I , − → J ). Cette équation est appelée l’équation réduite de C et S est appelé son sommet. C D b b S P − → I − → J p 2 uploads/S4/ cours-coniques-9.pdf
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- Publié le Jui 30, 2022
- Catégorie Law / Droit
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