Limites de fonctions - Exercices T aleS Exercice 1 Soit f la fonction d´ efinie
Limites de fonctions - Exercices T aleS Exercice 1 Soit f la fonction d´ efinie sur I R par f(x) = 1 si x ⩽3 2 si x > 3 D´ eterminer les limites ` a gauche et ` a droite en 3 : lim x→3 x<3 f(x) , et lim x→3 x>3 f(x) . La fonction f est-elle continue en 3 ? Tracer l’allure de Cf. Exercice 2 Soit f la fonction d´ efinie sur I R par f(x) = x + 2 si x ⩽−1 −2x −1 si x > −1 D´ eterminer les limites ` a gauche et ` a droite en −1 : lim x→−1 x<−1 f(x) , et lim x→−1 x>−1 f(x) . La fonction f est-elle continue en 1 ? Tracer l’allure de Cf. Exercice 3 D´ eterminer les limites suivantes : a) lim x→+∞x3 + 3x2 −6 b) lim x→+∞ 1 x + 2 c) lim x→3 1 −2x (x −3)2 d) lim x→+∞ x −3 + 1 x2 + x + 1 Exercice 4 Vrai ou faux (Donner un contre exemple lorsque la proposition est fausse) a. Si lim x→+∞f(x) = −∞et lim x→+∞g(x) = −∞alors lim x→+∞ f(x) g(x) = 1. b. Si lim x→+∞f(x) = −∞et lim x→+∞g(x) = −∞alors lim x→+∞(f(x)g(x)) = +∞ c. Si lim x→+∞f(x) = +∞et lim x→+∞g(x) = +∞alors lim x→+∞(f(x) −g(x)) = 0. Exercice 5 On consid` ere la fonction f d´ efinie sur D = I R \ {2} par f(x) = 1 (x −2)2. a. Montrer que si x ̸= 2 et 1, 9 < x < 2, 1, alors f(x) > 100. b. Soit un r´ eel A > 0. D´ eterminer un intervalle ouvert I contenant 2 tel que si x ∈I alors f(x) > A. c. Que peut-on d´ eduire en termes de limite pour la fonction f ? Exercice 6 D´ eduire de chacune des limites suivantes, si possible, l’´ equation d’une asymptote verticale ou horizontale ` a la courbe repr´ esentative de la fonction f. a) lim x→+∞f(x) = 3 b) lim x→3 f(x) = −∞ c) lim x→−∞f(x) = −6 d) lim x→1 x>1 f(x) = +∞ e) lim x→−∞f(x) = 0 f) lim x→0 f(x) = −∞ g) lim x→+∞f(x) = −∞ Exercice 7 D´ eterminer les limites de la fonction f aux valeurs demand´ ees : a) f(x) = 2x + 1 + 1 x2 en 0, en +∞et en −∞ b) f(x) = (4 −x2) (3x −2) en 0, en +∞et en −∞ c) f(x) = 4x −1 + 1 x −3 en 3, en +∞et en −∞ d) f(x) = 4x 4 −x en 0 et en 4 Exercice 8 D´ eterminer les limites suivantes : a) lim x→+∞ r 5 −4 x2 b) lim x→+∞ 2 −1 x 4 c) lim x→0 x>0 r 2 −x x d) lim x→+∞ r 4x2 + 9 − 16 x2 + 4 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Limites de fonctions - Exercices - T aleS 1/4 Exercice 9 Calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes : a) f(x) = 4x5 −3 2x2 −27π2 b) f(x) = x + 2 x2 + 4 c) f(x) = (2x + 3)(x2 −2) d) f(x) = √ 2x3 −3x + 1 e) f(x) = (2x + 3)5 d) f(x) = cos (2x −3) g) f(x) = r x + 1 2x + 1 h) f(x) = x + 1 2x + 1 7 i) f(x) = 1 (x2 + 3)6 Exercice 10 On consid` ere la fonction f d´ efinie sur I R par f(x) = x − √ x2 + 1. 1. D´ eterminer la limite de f en −∞. 2. a. A quelle forme ind´ etermin´ ee la limite de f en +∞conduit-elle ? b. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, f(x) = −1 x + √ x2 + 1. c. D´ eterminer la limite de f en +∞. Exercice 11 Determiner les limites suivantes : a) lim x→+∞ x5 −6x4 + 3x2 −12 b) lim x→−∞ x3 + x + 3 c) lim x→+∞ 9x + 2 3x −7 d) lim x→+∞ 9x2 + 2x 3x3 −7 e) lim x→+∞ r 9x + 2 x −3 f) lim x→−∞ r 9x + 2 x −3 g) lim x→+∞ x2 −x + 1 x2 h) lim x→0 x2 −x + 1 x2 Exercice 12 On consid` ere la fonction f d´ efinie sur I R par f(x) = 2x − √ x2 + 1. a. A quelle forme ind´ etermin´ ee la limite de f en +∞conduit-elle ? b. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x positif, f(x) = x 2 − r 1 + 1 x2 ! . En d´ eduire la limite de f en +∞. Exercice 13 Soit f la fonction x 7→ax + b 2x −1 o` u a et b sont deux r´ eels. f est repr´ esent´ ee par la courbe C dans un rep` ere orthogonal O;⃗ i,⃗ j . 1. D´ eterminer a et b tels que f(0) = 0 et lim x→+∞f(x) = 2. 2. D´ eterminer les asymptotes ` a C. 3. Dresser le tableau de variation de f, et tracer l’allure de C. Exercice 14 Vrai ou faux a. Si pour tout r´ eel x, f(x) ⩾x2, alors lim x→+∞f(x) = +∞. b. Si pour tout r´ eel x strictement positif, f(x) ⩽1 x, alors lim x→+∞f(x) = 0. c. Si pour tout r´ eel x strictement positif, 1 ⩽f(x) ⩽x, alors lim x→+∞ f(x) x2 = 0. Exercice 15 D´ eterminer la limite en +∞de f(x) = 1 x sin(x). Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Limites de fonctions - Exercices - T aleS 2/4 Exercice 16 Asymptote oblique Soit la fonction f d´ efinie sur D = I R \ {1} par f(x) = x2 + 1 x −1 et Cf sa courbe repr´ esentative. a. Montrer que pour tout x ∈D, f(x) = x + 1 + 2 x −1 b. D´ eterminer la limite en −∞et +∞de f(x) −(x + 1). c. Quelle propri´ et´ e peut-on en d´ eduire quant ` a Cf et la droite ∆: y = x + 1 ? Repr´ esenter ce r´ esultat sur un graphique. Exercice 17 Soit la fonction f d´ efinie sur I R \ {−2} par l’expression f(x) = −x2 + x + 3 x + 2 . Montrer que la droite d’´ equation y = −x + 3 est asymptote oblique ` a la courbe repr´ esentative de f. Exercice 18 Soit g la fonction d´ efinie sur D = I R \ {1} par l’expression g(x) = x2 + x −1 x −1 . On note Cf sa courbe repr´ esentative dans un rep` ere orthogonal du plan. 1. Dresser le tableau de variation de f. 2. D´ eterminer les limites de f ` a gauche et ` a droite en 1. 3. D´ eterminer trois r´ eels a, b et c tels que, pour tout x ∈D, f(x) = ax + b + c x −1. 4. D´ eterminer les limites de f en −∞et +∞. 5. Montrer que la droite ∆d’´ equation y = x + 2 est asymptote ` a Cf en −∞et +∞. 6. Tracer l’allure de Cf. Exercice 19 On consid` ere la fonction f d´ efinie sur I R \ {−2} par f(x) = 2x2 + 3x + 3 x + 2 , et on note Cf sa courbe repr´ esentative dans un rep` ere orthogonal du plan. 1. Montrer que la droite ∆d’´ equation y = 2x −1 est asymptote oblique ` a Cf en −∞et +∞. 2. D´ eterminer la position relative de Cf et ∆. 3. Repr´ esenter graphiquement ces r´ esultats. Exercice 20 Exercice type Bac Partie A. Soit ϕ la fonction d´ efinie sur I R par ϕ(x) = ax2 + bx + c x2 + 1 dont la courbe repr´ esentative C est donn´ ee ci-contre. La droite d’´ equation y = 3 est asymp- tote ` a C en plus et moins l’infini. Grˆ ace aux renseignements donn´ es par le graphique, d´ eterminer les r´ eels a, b et c. 0 1 1 C Partie B. Soit f la fonction d´ efinie sur I R par f(x) = 3x2 + 4x + 3 x2 + 1 . 1. D´ eterminer les r´ eels α et β tels que, pour tout r´ eel x, f(x) = α + βx x2 + 1. Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/TS/ Limites de fonctions - Exercices - T aleS 3/4 2. Dresser le tableau de variation complet de f. 3. D´ eterminer les positions relatives de la courbe repr´ esentative de f et de son asymptote. 4. a. Montrer que pour tout r´ eel x, f(x) + f(−x) 2 = 3. b. Que peut-on en d´ eduire pour la courbe repr´ esentative de f ? (Indication uploads/S4/ cours-limites-fonctions-exercices.pdf
Documents similaires
-
21
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 16, 2022
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
- Taille du fichier 0.0574MB