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 COURS FONCTIONS 2SC Mr Y.BOULILA Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,

 COURS FONCTIONS 2SC Mr Y.BOULILA Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i , j ) (unité: 1 cm , sauf précision contraire) I) Introduction: 1) Exercice: 1) Compléter le tableau de valeurs: x - 2 - 1 0 1 2 - 2x + 1 x5 - 5x3 + 2x +1 2)a) Construire dans le même repère (O, i , j ) les graphes des fonctions: f(x) = - 2x + 1 et g(x) = x5 - 5x3 + 2x +1 b) Calculer f(3) et g(3) , conclusion ? 2) Conclusion: En Mathématiques , pour construire correctement le graphe d’une fonction, II) Sens de variation d’une fonction sur un intervalle I , où elle est définie : 1) Exercice: Soient les fonctions: f(x) = x 3 x 2 et g(x) = x 3 x 2 1)a) Déterminer les deux intervalles I et I’ , sur lesquels f est définie (de même pour g ) b)i) Démontrer que pour tous réels: a et b de I Si a < b Alors f(a) < f(b) et g(a) > g(b) ii) Que peut-on démontrer si a et b sont deux réels de I’ tels que: a < b ? iii) Dresser le tableau de variation de f et g sur R Vocabulaire: « La fonction f est sur » « La fonction f est sur » « La fonction g est sur » « La fonction g est sur » c)i) Démontrer que pour tous réels: a et b de I ( a  b ) f(b)f(a) ba = f(a) f(b) a b > 0 et g(b)g(a) ba = g(a) g(b) a b < 0 ii) Que peut-on démontrer si a et b sont deux réels de I’ ? iii) Interpréter graphiquement le 1)c)i) . Remarque ? 2) Taux d’accroissement d’une fonction. Dans toute la suite on supposera que: a  b a) Définition: I est un intervalle sur lequel la fonction f est définie ( I  Df ) Pour tous réels a et b de I , on appelle taux d’accroissement de f entre a et b , le réel noté: ( a , b ) défini par: ( a , b ) = f(b)f(a) ba b) Interprétation géométrique: Soit f une fonction définie sur I Les points A( a ; f(a) ) et B( b ; f(b) ) sont des points ( a , b ) = f(b)f(a) ba est c) Propriétés: i) Si f est croissante sur I Alors: pour tous réels a et b de I : *) si a < b alors: *) si a > b alors: Alors: pour tous réels a et b de I : f(b)f(a) ba ii) Si pour tous réels a et b de I : f(b)f(a) ba Alors: pour tous réels a et b de I : *) si a < b alors *) si a > b alors Alors: On retiendra: f est une fonction définie sur un intervalle I de R f est croissante sur I  Pour tous réels a et b de I : ( a , b ) = f(b)f(a) ba f est décroissante sur I  Pour tous réels a et b de I : ( a , b ) = f(b)f(a) ba d) Exercice: m  0 ; p ; k  0 ;  0 ;  ;  , sont des paramètres réels 1)a) Déterminer Df , le domaine de définition de f b) (a et b appartenant à un même intervalle inclus dans Df ) Déterminer l’expression en fonction de a et b , du taux d’accroissement de f entre a et b 2) Déduire de 1) le tableau de variation des fonctions: i) f(x) = 2x + p ii) f(x) = -3x + p iii) f(x) = mx + p iv) f(x) = 3x2 v) f(x) = - 2x2 vi) f(x) = kx2 vii) f(x) = k x viii) f(x) = k x 3 ix) f(x) = k mx p  x) f(x) = x2 + 2x - 3 xi) f(x) = - 3x2 + 4x -5 xii) f(x) = x2 + x +  e) Notion de: « nombre dérivé » d’une fonction f en a ( a est un réel de I ) 1) Exemple: f(x) = x2 i) On fixe a = 1 , ( 1 , b ) = = = ( 1 , b ) est le de la droite (AB) avec A( ; ) et B( ; ) Par exemple avec: b = 2 ; b = 1,5 ; b = 0 ; b = 0,5 ii) On donne à b des valeurs « de plus en plus proches » de a = 1 Les droites (AB) tendent vers la ( 1 , b ) prend alors des valeurs « de plus en plus proches de » qui est le coefficient directeur de iii) Vocabulaire: 2 est appelé 2) Exemple: f(x) = x5 - 5x3 + 2x + 1 a)i) On fixe a = 0 , ( 0 , b ) = = = ( 0 , b ) est le de la droite (AB) , avec A( ; ) et B( ; ) Par exemple avec: b = 1 ; b = 0,5 ii) On donne à b des valeurs « de plus en plus proches » de a = 0 Les droites (AB) tendent vers la ( 0 , b ) prend alors des valeurs de plus en plus proches de , qui est le coefficient directeur de Vérification avec une calculatrice graphique iii) Vocabulaire: 2 est appelé b)i) On fixe a = 1 , ( 1 , b ) = ( 1 , b ) est le de la droite (AB) , avec A( ; ) et B( ; ) Par exemple avec: b = 0 ; b = 2 ii) On donne à b des valeurs « de plus en plus proches » de a = 1 Les droites (AB) tendent vers la ( 1 , b ) prend alors des valeurs de plus en plus proches de , qui est le coefficient directeur de Vérification avec une calculatrice graphique iii) Vocabulaire: - 8 est appelé III) Autres exemples de fonctions : A) Fonctions du type: f(x) = x (  ;  )  R*R : 1) Tableau de variation de f(x) = x (  ;  )  R*R.: a) Exemples: 1) f(x) = 2x 7 a) Pour quelles valeurs de x peut-on calculer f(x) ? On dit que f est définie pour tous les réels On dit que le domaine de définition de f est: Df = b) Pour tous réels a et b de Df : ( a ; b ) = ( a ; b ) = c) Dresser le tableau de variation de f 2) f(x) = 3x 1 Mêmes questions que ci-dessus 2) Cas général : f(x) = x a) Domaine de définition : f(x) = x b) Taux d’accroissement de f entre a et b : Pour tous réels a et b de Df : ( a ; b ) = c) Tableau de variation : On retiendra: 1ercas: x f(x) = x 2ièmecas: x f(x) = x 3) Graphe de f(x) = x : a) Exemples: Déterminer Df , dresser le tableau de variation de f , dresser un tableau de valeurs, puis construire le graphe de f i) f(x) = x ii) f(x) = x 3 iii) f(x) = x 1 iv) f(x) = 1 2 x 3 v) f(x) = 2x 5 b) Exercices: 1) On considère la fonction: f(x) = 9 2x a) Déterminer les points d’intersection du graphe de f et des axes de coordonnées b) Construire le graphe de f c) Résoudre algébriquement, puis vérifier graphiquement les équations: i) f(x) = 5 ii) f(x) = 2,5 iii) f(x) = - 1 iv) f(x) = 2x - 3 v) f(x) = - x + 5 2)a) Résoudre algébriquement, puis vérifier avec une calculatrice graphique: i) x  x ii) x 2  x - 2 iii) 2x 5 < x 2 iv) 7x15 < 2x3 b) Dresser le tableau de signes de: 1 2 x2  1 x2 IV) Fonctions homographiques: ( c0 et ad - bc0 ) f(x) = axb cxd 1) Fonction f(x) = k x , ( k réel non nul fixé ) : Df = a) Pour tout x de Df , f( - x ) = donc f est une fonction impaire donc le graphe de f est On étudie le sens de variation de f sur On en déduit par symétrie le sens de variation de f sur b) Asymptotes : i) *) Lorsque x tend vers:  , f(x) tend vers: *) La droite d’équation (axe ) est une asymptote « horizontale » au graphe de f ii) *) Lorsque x tend vers: 0+ , f(x) tend vers: *) La droite d’équation (axe ) est une asymptote « verticale » au graphe de f On retiendra: 1ercas: uploads/S4/ cours-math-les-fonctions-2eme-sciences-2010-2011-mr-youssef-boulila.pdf