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Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiq

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiques 1/7 I- Séries Statistiques Doubles : Exemple : Le tableau suivant donne le poids en Kg et la taille en cm d’un groupe de 10 enfants : Le couple 1 1 (P ,T ) (25,90) = veut dire que l’enfant N°1 pèse 25 Kg et mesure 90 cm. On a donc une population de 10 enfants sur laquelle on a observé simultanément les deux variables P et T. Définition : On dit qu’un couple (X,Y) de variables statistiques définies une série double si les deux variables X et Y sont observés simultanément sur une même population. La moyenne arithmétique des poids est : P = ……………………………………. La moyenne arithmétique des Tailles est : T = ……………………………………. Placer dans un repère orthogonal l’ensemble des points i i i M (P ,T ) : Définition : Soit une série statistique définie par deux variables X et Y . On désigne par 1 2 n x ,x ,......,x les valeurs de X et par 1 2 n y , y ,......, y celles de Y. Le plan étant rapporté à un repère orthogonal. L’ensemble des points { } i i i M (x , y ) ; i 1,2,.....,n ∈ est appelé Nuage De Points. Le point G(x , y) est appelé point moyen du nuage. Pi 25 27 23 30 27 23 25 30 32 28 Ti 90 92 85 99 93 88 92 98 99 90 O Poids Taille G 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 85 88 90 92 93 98 99 Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiques 2/7 Distributions marginales : Soit le tableau statistique suivant : X : note en mathématiques ; Y : nombre de frères et sœurs. N 100 = Les totaux inscrits en marge de chaque tableau à double entrée définissent deux distributions marginales, l’une associée à la première variable statistique et l’autre associée à la deuxième variable statistique. Distribution marginale de X Distribution marginale de Y • Calcul de la moyenne ( X ) ; la variance ( ) V(X) et l’écart-type ( ) (X) σ ............................................................... p i i i 1 x n (2 5) (6 20) (10 40) (14 25) (18 10) X = N 100 = × + × + × + × + × = = ∑ ................ p 2 i i 2 2 2 2 2 2 2 i 1 x n (2 5) (6 20) (10 40) (14 25) (18 10) V(X) X X N 100 = ⋅ × + × + × + × + × = − = − = ∑ ............................................. (X) V(X) σ = ≈ ........................................ q i i i 1 y n (0 11) (1 11) (2 22) (3 19) (4 15) (5 14) (6 8) Y = N 100 = × + × + × + × + × + × + × = = ∑ ...................... q 2 i i 2 2 2 2 2 2 i 1 y n (0 11) (1 11) (2 22) ............ (6 8) V(Y) Y Y N 100 = ⋅ × + × + × + + × = − = − = ∑ .......................................... (Y) V(Y) σ = ≈ Y X 0 1 2 3 4 5 6 Totaux [0,4[ 1 0 1 1 0 1 1 [4,8[ 2 2 4 3 3 4 2 20 [8,12[ 5 5 10 7 6 4 3 [12,16[ 2 3 5 5 4 4 2 25 [16,20[ 1 1 2 3 2 1 0 Totaux 11 22 15 8 100 X : Note en Maths [0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[ Total 7 i j j = 1 n ∑ 20 25 10 100 Y : nombre de frères et soeurs 0 1 2 3 4 5 6 Total Effectif j n • 11 22 15 8 100 Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiques 3/7 II- Ajustement affine d’une série statistique double : Lorsque le nuage des points, représentant graphiquement une série statistique à deux caractères X et Y, a une forme allongée, on peut approcher la relation entre les deux variables X et Y par une relation affine définie par : Y aX b ou X a 'Y b' = + = + . On appelle ajustement affine toute méthode permettant la détermination d’une telle relation. 1) Méthode de Mayer : La méthode de Mayer consiste à : • Partager le nuage de points en deux parties 1 2 P et P situées de part et d’autre par rapport à une droite parallèle à l’axe des ordonnées et contenant à peu prés le même nombre de points. • Déterminer les points moyens respectifs 1 2 G et G des parties 1 2 P et P . • La droite 1 2 (G G ) est alors la droite d’ajustement affine du nuage de points représentant la série. • La droite 1 2 (G G ) est appelée droite de Mayer et passe par le point moyen G du nuage global. Exemple : Le tableau ci-dessous présente la consommation de fuel d’une habitation en fonction de la température. 1) Compléter le nuage de points i i M(x , y ) dans le repère ci-dessus. 2) Fractionner le nuage de points en deux parties égales. 3) Calculer les coordonnées du point moyen 1 G de la première partie du nuage. Température i x en °C -5 -3 -1 2 5 7 10 13 Consommation i y de fuel /24h en L 38 36 30 29 25 20 15 12 Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiques 4/7 1 5 3 1 2 38 36 30 29 G ( ; ) 4 4 −− −+ + + + alors .................................... ......................................... 1 G ( ; ) 4) Calculer les coordonnées du point moyen 2 G de la deuxième partie du nuage. .................................... ......................................... 2 G ( ; ) 5) Tracer la droite 1 2 (G G ) . 6) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. .................................... ......................................... G( ; ) 7) Déterminer l’équation réduite de la droite 1 2 (G G ) . ( y ax b = + ). 1 2 ........................................................................................................... 1 2 G G G G y y a 1,45 x x − = = ≈− − ................................................................................................................. 1 1 G G b y a x 30,71 = − ⋅ = ≈ donc .......................................... 1 2 (G G ) : y = 8) A partir de l’équation de la droite, donner une estimation de la consommation de fuel pour une température de –10°C. 9) Déterminer graphiquement, à l’aide de la droite d’ajustement, la température pour une consommation de 22L. 10) Retrouver le résultat précédent par le calcul à partir de l’équation de 1 2 (G G ) . 2) Méthode des Moindres carrés : On peut reconnaître la relation affine éventuelle entre les deux variables X et Y à l’aide d’un moyen non graphique et en faisant intervenir deux paramètres statistiques à savoir : la covariance Cov(X,Y) et le coefficient de corrélation linéaire r. Covariance : Soit une série statistique (X,Y)double définie par { } 1 n x ,..........,x et { } 1 n y ,..........,y observée sur une population de n individus. On appelle covariance du couple(X,Y) le réel : i i n i 1 1 Cov(X,Y) x y X Y XY X Y n = = − = − ∑ Exemple : Soit la série statistique double définie par le tableau suivant, Compléter le tableau : ..................................................................................................... Cov(X,Y) XY X Y = − = i x 2 5 3 1 1 4 2 3 ...................... i x = ∑ ........................... X = i y 25 40 10 5 0 15 50 12 ............................... i y = ∑ .............................. Y = i i x y 50 30 0 100 ........................... i i x y = ∑ .................................. XY = Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar Statistiques 4ème 2007-2008 Statistiques 5/7 Exercice : Calculer la covariance de la série statistique double(X,Y) définie par : ................................................................................................................................... X = ...................................................................................................................................... Y = ....................................................................................................................................... XY = .............................................................................................................. Cov(X,Y) XY X Y = − = Coefficient de corrélation linéaire : On appelle coefficient de corrélation linéaire le réel r défini par : Cov(X,Y) r ; r [ 1,1] (X) (Y) = ∈− σ ⋅σ Exercice : Calculer le coefficient de corrélation linéaire r pour la série statistique suivante : • ................................................................................... X = • ........................................................................................................... Y = • ........................................................................................................................... XY = • ............................................................................................................................................ V(X) = • ............................................................................................................................................... V(Y) = • .............................................................................. Cov(X,Y) = • .......................................................... (X) σ = • .................................................................. (Y) σ = • ..................................................................................................................... r = Théorème : X et Y deux variables statistiques observées sur une population d’effectif N. Si 0,75 r 1 ≤ ≤ alors il y uploads/S4/ statistique-mr-hbib-gammar-lycee-rue-ahmed-amara-le-kef-pdf.pdf