EASY-MATHS PARTNERSHIP MINESEC Année scolaire 2012-2013 Lycée de Japoma Classe
EASY-MATHS PARTNERSHIP MINESEC Année scolaire 2012-2013 Lycée de Japoma Classe : Tle C Durée : 4 heures Département de Mathématiques Séquence 4, Février 2013 www.easy-maths.org Coef 5 Épreuve de Mathématiques Enseignant : Njionou Patrick, S. Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. Il est demandé à l’élève de justifier toutes ses affirmations. EXERCICE 1 4 points Partie A Restitution organisée de connaissance Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a ≡b (mod n) et c ≡d (mod n) alors ac ≡bd (mod n). [0,5pt] Partie B Inverse de 23 modulo 26 On considère l’équation (E) : 23x −26y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E). [0,25pt] 2. Résoudre alors l’équation (E). [0,5pt] 3. En déduire un entier a tel que 0 ⩽a ⩽25 et 23a ≡1 (mod 26). [0,25pt] Partie C Chiffrement de Hill On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 corres- pond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en (y1 ; y2) tel que : (S1) y1 ≡ 11x1 + 3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1 + 4x2 (mod 26) avec 0 ⩽y1 ⩽25 et 0 ⩽y2 ⩽25. Étape 3 (y1 ; y2) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspon- dance donné dans l’étape 1. Exemple : TE |{z} mot en clair étape1 = ⇒(19, 4) étape 2 = ⇒(13, 19) étape 3 = ⇒ NT |{z} mot codé 1. Coder le mot ST. [0,5pt] 2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage : a. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système : [0,5pt] (S2) 23x1 ≡ 4y1 + 23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1 + 11y2 (mod 26) 1 EASY-MATHS PARTNERSHIP b. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système [0,5pt] (S3) x1 ≡ 16y1 + y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1 + 5y2 (mod 26) c. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1). [0,5pt] d. Décoder le mot YJ. [0,5pt] EXERCICE 2 2,5 points Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. L’espace est rapporté à un repère orthonormal O, ⃗ ı, ⃗ , ⃗ k . On considère le point A de coor- données (−1 ; −1 ; 1) et les droites D et D′ de représentations paramétriques : D x = 2t −1 y = −3t + 2 z = t où t ∈R D′ x = 3t′ y = t′ + 2 z = 3t′ −2 où t′ ∈R Proposition 1 : « Le point A appartient à la droite D ». [0,5pt] Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite D passant par le point O a pour équation : 2x −3y + z = 0 ». [0,5pt] Proposition 3 : « Les droites D et D′ sont orthogonales ». [0,5pt] Proposition 4 : « Les droites D et D′ sont coplanaires ». [0,5pt] Proposition 5 : « La distance du point A au plan d’équation 2x −3y + z = 0 est √ 14 7 . [0,5pt] EXERCICE 3 4,5 points Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que : f (0) = 0 et f ′(x) = 1 1 + x2 pour tout x de [0 ; 1]. On ne cherchera pas à déterminer f. PARTIE A. 1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1]. [0,5pt] 2. Soit g la fonction définie sur h 0 ; π 4 i par g(x) = f (tan(x)). [0,5pt] a. Justifier que g est dérivable sur h 0 ; π 4 i , puis que, pour tout x de 0 ; π 4 , g′(x) = 1. [0,5pt] b. Montrer que, pour tout x de h 0 ; π 4 i , g(x) = x, en déduire que f (1) = π 4 . [0,5pt] 3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 0 ≤f (x) ⩽π 4 . [0,5pt] PARTIE B. Soit (In) la suite définie par I0 = R 1 0 f (x)d x et, pour tout entier naturel n non nul, In = R 1 0 xn f (x)d x. 1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I0 = π 4 −1 2 ln(2). [0,5pt] 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In ⩾0. [0,5pt] b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In ⩽ π 4(n+1). [0,5pt] c. En déduire la limite de la suite (In). [0,5pt] 2 EASY-MATHS PARTNERSHIP PROBLEME 3 9 points On considère la fonction numérique f définie sur R par : f (x) = 2x + 1 −xex−1. On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, ⃗ ı, ⃗ ). 1. Étudier la limite de la fonction f en −∞puis en +∞(on pourra écrire xex−1 = 1 exex). [0,5pt] 2. a. Calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ de la fonction f. [0,5pt] b. Dresser le tableau de variation de la fonction f ′ en précisant la limite de la fonction f ′ en −∞. [0,5pt] c. Calculer f ′(1) et en déduire le signe de f ′ pour tout réel x. [0,5pt] d. Dresser le tableau de variation de la fonction f. [0,5pt] 3. Soit I l’intervalle [1, 9; 2]. Démontrer que, sur I, l’équation f (x) = 0 a une solution unique, α. [0,5pt] 4. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par : g(x) = 1 + ln 2 + 1 x . a. Démontrer que, sur I, l’équation f (x) = 0 équivaut à l’équation g(x) = x. [0,5pt] b. Étudier le sens de variation de la fonction g sur I et démontrer que, pour tout x appar- tenant à I, g(x) appartient à I. [0,5pt] c. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle I, |g′(x)| ⩽1 9. [0,5pt] d. Soit (un) la suite de nombres réels définie par : [0,5pt] u0 = 2 et, pour tout n de N, un+1 = g(un). i. Démontrer que tous les termes de cette suite appartiennent à l’intervalle I. [0,5pt] ii. Démontrer que, pour tout n de N, |un+1 −α| ⩽1 9|un −α|. [0,5pt] iii. En déduire, en raisonnant par récurrence, que : [0,5pt] pour tout n de N, |un −α| ⩽ 1 9 n × 1 10. iv. En déduire que la suite (un) converge et préciser sa limite. [0,5pt] v. Déterminer n pour que un soit une valeur approchée de la limite de (un)n à 10−6 près. [0,5pt] 5. a. Par une intégration par partie, calculer l’intégrale J = Z 1 0 xex−1dx. [0,5pt] b. Déduire la valeur de l’intégrale J = Z 1 0 f (x)dx. [0,5pt] c. Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu. [0,5pt] « Si l’esprit d’un homme s’égare, faites-lui étudier les mathématiques, car dans les démonstrations, pour peu qu’il s’écarte, il sera obligé de recommencer. »Françis Bacon. 3 uploads/S4/ tc-seq4-fevrier-2013.pdf
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- Publié le Jul 04, 2021
- Catégorie Law / Droit
- Langue French
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