2012 L.B. Monastir Devoir de contrôle n : 1 Durée : 120 minutes 3 ème Math P.

2012 L.B. Monastir Devoir de contrôle n : 1 Durée : 120 minutes 3 ème Math P.P. : Ali Zouhaier 2012-2013 Exercice 1 ( 4 points ) Répondre par vrai ou faux en justifiant votre choix. 1/ La fonction f : x  2012 1
x
7
7 est bornée sur son domaine de définition 2/ Soit f une fonction continue sur IR; f
0 
3 et f
x  0 pour tout x IR. On a f
x  0 pour tout x IR 3/ Soit ABC est un triangle isocèle en A inscrit dans un cercle de centre O. On a AB;AC  
OA;OB 2 4/ x
1 lim 1
3x
2x2
1
|x|
3x
1  4. Exercice 2 ( 6 points ) 1/ Déterminer le domaine de définition Df de f : x  x
2
1 x
3 2/ Etudier la continuité de f sur son domaine de définition Df. 3/a- Montrer que pour tout x  Df ; f
x  1 x
2
1 b- Calculer x3 lim f
x. 4/ Soit h la fonction définie par h
x  x3
1 x2
5x
4 si x  1 x
5 2 si 1
x
3 f
x si x  3 a- Montrer que h est continue en 3. b- Etudier la continuité de h en 1. 5/a- Montrer que l’équation h
x  0 admet au moins une solution  dans ]2;6 b- Donner un encadrement de  d’amplitude inférieur à 2. Exercice 3 ( 6 points ) ABC est un triangle équilatéral tel que AB6 , I le milieu de AB. 1/ Soit l’ensemble   M  P; MA2
MB2  36 . a- Vérifier que B  . b- Montrer que pour tout M du plan P on a : MA2
MB2  2IM.AB. c- En déduire l’ensemble . 2/ Soit G le barycentre des points pondérés
A,2 et
B,
5. a- Montrer que pour tout M du plan on a : 2MA2
5 MB2 
3 MG2
120. b- En déduire l’ensemble E M  P; 2MA2
5MB2 
2012 . 3/ Soit le repère orthonormé R I; 1 IB IB; 1 IC IC Page : 1
2012 a- Déterminer les coordonnées de chacun des points A, B et C dans le repère R b- Donner une équation cartésienne de chacun des ensembles  et E. c- Etudier la position relative de  et E. Exercice 4 ( 4 points ) Dans le plan orienté P ,on considère le triangle ABC tel que AB;AC 
14024 7 2 et BA;BC 
450 7 2. 1/ Donner la mesure principale de AB;AC . 2/ Calculer une mesure de CB;CA . 3/ Posons M le point d’intersection de la demi droite [BA et de la droite  la médiatrice de BC N est le point d’intersection de  et
AC. Calculer MA;MN puis NM;NA . B C A N M A M N B C Bon Travail Page : 2
2012 Exercice 1 1/ Vrai  f
x
2012 1  x
7  7  7 donc f est minorée par 7.  x
7  0  1  x
7  1  1 1  x
7  1  2012 1  x
7  2012  f
x
2012 1  x
7  7  2019 donc f est majorée par 2019 2/ Vrai Supposons par l’absurde qu’il existe un réel a tel que f
a  0 Alors on aura : f est continue sur l’intervalle de bornes a et 0 et aussi f
0  f
a  0 donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel b entre a et 0 tel que f
b
0 ce qui contredit l’hypothèse f
x  0 pour tout x de IR Concusion notre supposition est fausse et on a f
x  0 pour tout x de IR. 3/ Vrai . ABC est isocèle en A donc AB;AC  
2 CA;CB 2 . O est le centre du cercle circonscrit à ABC donc OA;OB  2 CA;CB 2 Donc AB;AC  
OA;OB 2 4/ Faux x
1 lim 1  3x  2x2
1
|x|
3x
1
x
1 lim 1  3x  2x2
1


x
3x
1 car x est très proche de -1
x
1 lim 2
x  1 x  1 2
1  x
3x
1
x
1 lim 2x  1 3x
1
1 4 . Exercice 2 1/ f
x
x
2
1 x
3 existe  x
2  0 et x
3  0  x  2 et x  3. Conclusion : Df
2;\3 . 2/
x x
2 est continue et positive sur 2;\3 . donc x x
2 est continue sur 2;\3 . donc x x
2
1 est continue sur 2;\3 . Aussi
x x
3 est continue et ne s’annule pas sur 2;\3 Alors f : x x
2
1 x
3 est continue sur 2;\3 . 3/a- Pour tout x  Df ; f
x
x
2
1 x
3  x
2  1 x
2  1
x
2
12
x
3 x
2  1
1 x
2  1 b- x lim f
x
x lim 1 x
2  1
0. 4/a-  h
3
3
5 2
1 2  x3
lim h
x
x3
lim x
5 2
1 2 . Page : 1 www.mathmoufid.com devoir de controle n : 1
2012  x3 lim h
x
x3 lim 1 x
2  1
1 2 Donc f est continue en 3. b-  f
1
1
5 2

3 2  x1
lim h
x
x1
lim x3
1 x2
5x  4
x1
lim
x
1
x2  x  1
x
1
x
4
x1
lim x2  x  1 x
4
3
3

1.  x1 lim h
x
x3 lim x
5 2
1 2 Donc f n’est pas continue en 1. 5/a-  la fonction x x3
1 x2
5x  4 est continue sur IR\1;4 (fonction rationnelle) donc h:x x3
1 x2
5x  4 est continue sur [2;3[.  h est continue en 3.  la fonction
x x
2 est continue et positive sur 3;6 donc la fonction x x
2 est continue sur 3;6 alors la fonction x x
2  1 est continue et ne s’annule pas sur 3;6 Donc la fonction h : x h
x
f
x
1 x
2  1 est continue sur 3;6 Bilan : h est continue sur 2;6 de plus h
2  h
6
2
5 2  1 6
2  1

1 6  0 donc d’après le théorème de valeur intermédiaire l’équation h
x
0 admet au moins une solution  dans ]2;6[. b- On remarque que h
2

1 2  0 et h
3
1 2  0 donc 2    3 c’est un encadrement de  d’amplitude 1. Exercice 3 1/a- BA2
BB2
62
0
36 donc B  . b- MA2
MB2
MA 2
MB 2
MA  MB MA
MB
MI  IA  MI  IB MA  BM
2MI .BA
2IM.AB. c- M  MA2
MB2
36  2IM.AB
2IB.AB d’après 1/a- et 1/b-  2 IM
IB .AB
0 
0  BM
AB  M  à la droite perpendiculaire à
AB en B. Conclusion : est la droite perpendiculaire à
AB en B. 2/a- 2MA2
5 MB2
2MA 2
5 MB 2
2 MG  GA 2
5 MG  GB 2
2MG2  4MG.GA  2GA2
5MG2
10MG.GB
5GB2

3MG2  2MG. 2GA
5GB  2GA2
5GB2

3MG2  2GA2
5GB2.  G est le barycentre des points
A,2 et
B,
5 donc AG

5 2 

5 AB et BG
2 2 

5 BA alors AG
|
5 2 

5 | AB et BG
| 2 2 

5 | BA d’où AG
5 3  6
10 et BG
2 3  6
4. Page : 2
2012 Ainsi 2MA2
5 MB2

3MG2  2  102
5  42 uploads/S4/ devoir-de-controle-n01-avec-correction-2012-2013-ali-zouhair-bourguiba-monastir.pdf

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• Publié le Jui 09, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
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