Chapitre 5 Fonctions d´ erivables 5.1 Fonctions d´ erivables D´ efinition 5.1.1

Chapitre 5 Fonctions d´ erivables 5.1 Fonctions d´ erivables D´ efinition 5.1.1 Soit I un intervalle de R, x0 un point de I et f une fonction de I dans R. On dit que f est d´ erivable en x0 si la limite suivante existe et est finie lim x →x0 f (x) −f (x0) x −x0 = λ ∈R Cette limite est appel´ ee d´ eriv´ ee de f au point x0 et on la note par f ′ (x0) . On peut avoir la d´ efinition analogue suivante : f est d´ erivable en x ⇔  lim h →0 f (x + h) −f (x) h = f ′ (x) ∈R  . D´ efinition 5.1.2 - On dit que f est d´ erivable ` a gauche (resp. ` a droite ) en x0 si le rapport f (x) −f (x0) x −x0 admet une limite finie ` a gauche (resp. ` a droite ) en x0 et cette limite est appel´ ee d´ eriv´ ee ` a gauche (resp. ` a droite ) de f au point x0. - Pour que f soit d´ erivable en x0; il faut et il suffit que f soit d´ erivable ` a gauche et ` a droite de x0 et que les deux limites soient ´ egales. ie. lim x < →x0 f (x) −f (x0) x −x0 = lim x > →x0 f (x) −f (x0) x −x0 = f ′ (x0) . - Une fonction d´ efinie d’un intervalle ouvert I de R dans R est dite d´ erivable sur I; si elle est d´ erivable en tout point de I. Exemples 5.1.3 - Toute fonction polynˆ ome de degr´ e n est d´ erivable sur R, et sa d´ eriv´ ee est un polynˆ ome de degr´ e n −1. - Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆ omes) est d´ erivable sur son domaine de d´ efinition, et sa d´ eriv´ ee est une fonction rationnelle. 106 §5.1] Fonctions d´ erivables 107 - La fonction f d´ efinie par f (x) = √x est d´ erivable en x0 = 2; en effet lim x →2 √x − √ 2 x −2 = lim x →2 1 √x + √ 2 = 1 2 √ 2 = f ′ (2) . - La fonction f d´ efinie par f (x) = |x| ; est continue mais n’est pas d´ erivable au point x0 = 0 car les limites ` a gauche et ` a droite en 0 sont diff´ erentes ; en effet lim x < →0 |x| −0 x −0 = lim x < →0 −x x = −1 lim x > →0 |x| −0 x −0 = lim x > →0 x x = 1 - La fonction exp est d´ erivable sur R et on a (exp x)′ = (ex)′ = exp x, ∀x ∈R. - La fonction ln est d´ erivable sur ]0, +∞[ et on a (ln x)′ = 1 x, ∀x ∈]0, +∞[ . - La fonction loga est d´ erivable sur ]0, +∞[ et on a log′ a (x) = 1 x ln a, ∀x ∈]0, +∞[ . - La fonction puissance ax avec a > 0 est d´ erivable sur R et on a (ax)′ = (ln a) ax , ∀x ∈R. 5.1.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique Soit f une fonction d´ efinie d’un intervalle I de R dans R, et soit (Γ) son graphe, soient M0 un point de (Γ) tel que M0(x0, f (x0)), et M un autre point de (Γ) tel que M(x, f (x)). Figure 5.1 – Interpr´ etation g´ eom´ etrique Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 108 Fonctions d´ erivables [Ch.5 Si f est d´ erivable en x0 alors le graphe (Γ) admet en x0 une tangente (T) d’´ equation (T) : y = f (x0) + f ′ (x0) (x −x0) , en effet ; En calculant la pente de (M0M) , c’est ` a dire la tangente de l’angle que fait l’axe des abscisses avec la droite (M0M) tan α = f (x) −f (x0) x −x0 ; on remarque que quand x tend vers x0 alors la pente de (T) est ´ egale ` a lim x →x0 f (x) −f (x0) x −x0 = f ′ (x0) . d’o` u (T) : y = (f ′ (x0) .x) + b, tel que b ∈R or M0(x0, f (x0)) ∈(T) ⇒b = f (x0) −f ′ (x0) .x0, d’o` u (T) : y = f (x0) + f ′ (x0) (x −x0) . Remarques : 1. Si la fonction f admet en x0 une d´ eriv´ ee ` a gauche lg et une d´ eriv´ ee ` a droite ld telles que lg ̸= ld ; alors le graphe (Γf) de f admet en M0(x0, f (x0)) deux demi tangentes et on dit que M0 est un point anguleux de (Γf). 2. Si les deux limites sont infinies et diff´ erentes alors on dit que le graphe (Γf) admet au point M0(x0, f (x0)); une tangente verticale d’´ equation x = x0 et que M0 est un point de rebroussement de (Γf). Proposition 5.1.4 Si f est une fonction d´ erivable en x = a alors f est continue en x = a. Preuve : On a lim x →a [f (x) −f (a)] = lim x →a f (x) −f (a) x −a  [x −a] et comme f est d´ erivable en x = a; alors lim x →a [f (x) −f (a)] = lim x →a h f(x)−f(a) x−a i lim x →a [x −a] = f ′ (a) .0 = 0 d’o` u lim x →af (x) = f (a) . ✷ Remarque : La r´ eciproque est fausse. En effet, la fonction x 7→|x| est continue mais n’est pas d´ erivable en x0 = 0. Damerdji Bouharis A. USTO MB §5.1] Fonctions d´ erivables 109 Th´ eor` eme 5.1.5 Soient f et g deux fonctions d´ erivables en x0 et soit α, β ∈R, alors les fonctions f + g, fg, αf + βg et f g (si g (x0) ̸= 0) sont d´ erivables aussi en x0 et l’on a : 1) (f + g)′ (x0) = (f (x0) + g (x0))′ = f ′ (x0) + g′ (x0) , 2) (f.g)′ (x0) = (f (x0) .g (x0))′ = f ′ (x0) .g (x0) + f (x0) .g′ (x0) , 3) (αf + βg)′ (x0) = (α.f (x0) + β.g (x0))′ = α.f ′ (x0) + β.g′ (x0) , 4)  f g ′ (x0) =  f(x0) g(x0) ′ = f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0) (g(x0))2 . Preuve : 1) et 3) sont ´ evidentes. 2) On a f (x) g (x) −f (x0) g (x0) x −x0 = [f (x) −f (x0)] x −x0 g (x) + f (x0) [g (x) −g (x0)] x −x0 alors par passage ` a la limite lim x →x0 f (x) g (x) −f (x0) g (x0) x −x0 = lim x →x0 [f (x) −f (x0)] x −x0 g (x)+ lim x →x0f (x0) [g (x) −g (x0)] x −x0 d’o` u (f.g)′ (x0) = f ′ (x0) g (x0) + f (x0) g′ (x0) 4) Pour montrer que  f g ′ (x0) = f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0) g2(x0) ; il suffit de montrer que 1 g ′ (x0) = −g′ (x0) g2 (x0) On a 1 g(x) − 1 g(x0) x −x0 = −(g (x) −g (x0)) (x −x0) 1 (g (x0) .g (x)) alors par passage ` a la limite lim x →x0 1 g(x) − 1 g(x0) x −x0 = −g′ (x0) g2 (x0) ✷ Proposition 5.1.6 Soient f et g deux fonctions, telles que : f : I1 →I2 , g : I2 →R; I1, I2 ´ etant deux intervalles de R. Si f est d´ erivable en x0 ∈I1 et g est d´ erivable en y0 = f(x0) ∈I2, alors : g ◦f : I1 →R est d´ erivable en x0 et on a : (g ◦f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0) Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 110 Fonctions d´ erivables [Ch.5 Preuve : On a (g ◦f)(x) −(g ◦f)(x0) x −x0 = g (f (x)) −g (f (x0)) f (x) −f (x0) f (x) −f (x0) x −x0 alors par passage ` a la limite comme f est d´ erivable en x0 et g est d´ erivable en y0 = f(x0) ; on a lim x →x0 (g ◦f)(x) −(g ◦f)(x0) x −x0 = g′(f(x0))f ′(x0) d’o` u (g ◦f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0) ✷ Exemple 5.1.7 (ln (cos (ex)))′ = −ex sin(ex) cos(ex) . Remarque : On peut montrer que si f une fonction d´ erivable en x0 telle que f ′(x0) ̸= 0, alors on a l’´ equivalence suivante : g ◦f d´ erivable en x0 ssi g est d´ erivable en y0 = f(x0). En effet, soit f une fonction d´ erivable en x0 telle que f ′(x0) ̸= 0, on a lim x uploads/S4/ ch4-fonctions-derivables.pdf

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• Détails
• Publié le Jui 05, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.3004MB