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Exercice 1 1.) Résoudre dans R×R, { y=−5 x+7 x=3 y−2 2.) Tu partages une somme

Exercice 1 1.) Résoudre dans R×R, { y=−5 x+7 x=3 y−2 2.) Tu partages une somme de 20 670 F entre trois personnes de manière que la seconde reçoive le double de la première et le troisième le quart de la première. Quelle est la part de chacune de ces trois personnes ? 3.) Précisez le sens de variation des applications affines définie par : f (x )=2 x+3 ; g (x )=−5 xet k (x )=7 4) f est une application définie par f (x )=−3 2 x+1. Ranger dans l’ordre décroissant f (−2 ); f (2) ;f (0 ); f ( 2 3) Exercice 2 Voici les notes obtenues par les élèves d’une classe de troisième à l’issue d’un devoir de mathématiques noté sur 20. 2 19 6 6 8 10 12 17 8 14 17 10 12 14 12 8 17 14 12 10 12 8 10 8 10 8 12. 1.) Quel est l’effectif de cette série statistique ? 2.) a - Dresser le tableau des effectifs b - Construire le diagramme en bâtons des effectifs. c – préciser le mode de cette série statistique d- Calculer le nombre et le pourcentage des élèves qui ont une note supérieure ou égale à 12. Exercice 3 Le plan est muni d’un repère orthonormé (0, ⃗ i ⃗ j). On donne les points A, B et C définis par ; ⃗ OA=⃗ i−⃗ j,⃗ BO=−⃗ i+3 ⃗ j ,⃗ OC=5 ⃗ i+⃗ j. 1. a) Calculer les coordonnées du milieu I de [BC ] b) Par le point I, on trace le parallèle à la droite (AB) Elle coupe (AC) en J. Calculer les coordonnées de J. c) calculer les distances JB et JC. 1. Montrer que la Droite (I J) est la médiatrice du segment [BC ].En déduire que le triangle ABC est rectangle en B 2. Soit D le symétrique du point B par rapport à J. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Exercice 4 L’unité de longueur est le centimètre. AEG est un triangle tel que : AE= 6cm mes ^ GAE=30° et mes^ AEG=60° . Le point I est le milieu du segment [ AE ]et O est le projeté orthogonal de E sur[ IG] On donne sin 30°=1 2 ;cos30°=√3 2 ,sin 60°=¿ √3 2 ,cos60°=1 2 ¿ 1 a) Faire une figure que tu complèteras au fur et à mesure. b) Démontrer que le triangle AEG est rectangle 2. Calculer les Valeurs exactes de AG et GE. 3. (c) est un cercle de centre G et de rayon[ EG ] a) Quelle est la nature du triangle GEI ? Justifier. b) calculer la valeur exacte de EO. 4. Le cercle (c) coupe la demi droite] EG] en J. a) démontrer que le triangle IJE est rectangle b) démontrer que les triangles IJE et AGE sont symétriques par rapport à un axe que tu préciseras. Exercice 1 On dispose de deux Urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au touché. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n ≥ 1). U2 contient deux boules blanches et une boule noires. On tire une boule au hasard de l’urne U1 et on la remet dans U2 puis on retire une boule de l’urne U2 puis on lui remet dans U1. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1. Construire un arbre de probabilité 2. On considère l’évènement A : « Après l’épreuve, les urnes se retournent dans la configuration de départ ». a) Démontrer que la probabilité de A est P (A )=3 4( n+2 n+3). b) Déterminer la limite de P(A) lorsque n tend vers +∞. 3. On considère l’évènement B : « après l’épreuve l’urne U2 contient une boule blanche ». Calculer p(B). A. Un joueur mise 20F et effectue une épreuve B. on compte les boules blanches de l’urne U2.  Si U2 contient une boule blanche, le joueur reçoit 1F,  Si U2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit nF.  Si U2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien a) Montrer que le joueur n’a aucun intérêt à jouer tend que n ne dépasse pas 10. b) On suppose que n˃10, on désigne par x la variable aléatoire qui prend pour valeur les gains algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de x et Calculer son espérance mathématique. Exercice 2 1. Résoudre dans Ʀ l’équation différentielle : (E0): y +2y'+y= 2. Vérifier que la fonction g est définie sur Ʀ par : g (x )=a x 2+bx+c est solution de l’équation différentielle (E1): y +2y'+y=-x²-x+2 pour les valeurs a, b, c que l’on déterminera. 3) Montrer que f est la solution de (E1) équivaut à h=f −g solution de (E0).En déduire les solutions de(E1). 4) Trouver une solution U de(E1) dont la courbe représentative passe par le point A(0;1) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur−2. Problème : A- Soit λ un réel, on associe la fonction numérique f λ définie par : f λ ( x )=ln (x 2−2 λx+2) et on désigne par c λ sa courbe représentatives dans un repère orthonormé (o , ⃗ i ⃗ j) 1- Préciser suivant les valeurs de λ, l’ensemble de définition deDλ. Déterminer le sens de variation def λ. On précisera les limites aux bornes des intervaleles constituant D λ. 2- Montrer que chaque courbe c λ admet un axe de symétrie B- Soit (C1) la courbe de f 1 et ∆ la droite d’équation y=x Dans cette partie on s’intéressera à l’intersection de C1et ∆ 1- Représenter C1et ∆ 2- a) Soit φ (x )=f 1(x)−x b) Etudier les variations de φ puis dresser son tableau de variation. c)Montrer que φ est une bijection de R versR. Déduis- en que la courbe C1 coupe ∆ en un seul point d’abscisse a et que 0.3<α<0.4 C- On pose On pose J=[0,3;0,4] 1- montrer que x→x ²−2 x+2 est décroissant sur J ; en déduire que f 1( j)c j 2- Prouver que∀x∈J ,∨f ' (x )∨≤0,95 puis monter que ∀x∈J ,|f (x )−a|≤0,95∨x−a∨¿ On définit la suite ¿ Prouver que ∀n∈N ,U n∈j ,|Un+1−a|≤0,95|Un−a|etque|U n+1−a|≤0,1¿ Déduire que Un converge. D- On désigne par A l’aire de la partie du plan comprise entre les droites x=0; x=1 2 L’axe des abscisses et la courbe(C1) 1- Montrer que la tangente (T ) à la courbe (C1)enx=1 4 a pour équation y=−24 25 x+ 6 25 +ln 25 16 2- Soit les points E d’abscisse 0 et f d’abscisse 1 2 de la courbe. Monter que la droite (EF) a pour équation y=2(ln 5 8) x+ln2 3- On admet que sur [0, 1 2](C1) est aussi dessus de T et en dessous de(EF). Montrer que : a) ∫ 0 1 2 (−¿ 24 25 x+ 6 25+ln 25 16 )dx ≤A≤∫ 0 1 2 (2(ln 5 6 ¿) x+ln ⁡2)dx ¿¿ b) Déduire que ln 5 4 ≤A≤1 4 ln 5 2 puis donner la valeur de Aà5.10 −3près. uploads/S4/ devoir-de-mathematique-des-eleves.pdf