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Composition 1ère Période 1999–2000 Epreuve de Mathématiques Séries: MTI-MTGC Si

Composition 1ère Période 1999–2000 Epreuve de Mathématiques Séries: MTI-MTGC Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako EXERCICE 1 : (4 points) 1° ) Calculer les intégrales définies suivantes a) ∫ = 2 0 4 cos sin π dx x x I ; b) ∫ = 2 0 2 2 sin π dx x x J 2° ) On considère dans l’ensemble ℂ le polynôme complexe ) 1 ( 16 ) 5 1 ( 4 ) 3 2 ( 2 ) ( 2 3 i z i z i z z f − + − − + − = a) Montrer que l’équation f(z)=0 admet une solution réelle z0 = a. En déduire les autres solutions de f(z)=0. b) Représenter dans le plan complexe, les images des solutions de cette équation. c) Démontrer que les solutions de f(z)=0 , constituent les trois premiers termes d’une suite géométrique dont le 1er terme est u0 = a et dont on donnera la raison. Calculer le 17è terme u16 et écrire le terme général un de cette suite. Déterminer n pour que un appartienne à ℤ. EXERCICE 2 : (4 points) Soit les nombres A = 85 et B = 70 écrits dans le système décimal. 1) Ecrire A et B dans le système binaire. 2) Dans le système binaire, effectuer les opérations suivantes 3) a) S = A + B ; b) D = A – B ; c) Vérifier les résultats en les transcrivant dans le système à base 10. Compo 1ère période 2000 MTI-MTGC Page 01 Adama Traoré Professeur Lycée Technique PROBLEME : (12 points) A] Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :    = + − = 0 ) 0 ( 0 , ln ) ln 2 ( ) ( f x si x x x x f f Soit (Cf) la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormé ( ) j i O ; ; . 1°) a) Montrer que 0 ) (ln lim 2 0 = + → x x x (On pourra poser x = u2). En déduire que la fonction f est continue à droite au point 0. b) Etudier la dérivabilité de f à droite au point 0. Calculer f Ʌ(x) pour x > 0. Etudier les variations de f. 2°) a) Calculer les coordonnées des points de (Cf) avec l’axe des abscisses. Préciser les tangentes en ces points. b) Tracer (Cf) ( On prendra 4 2 ≈ e ) 3°) a) En intégrant deux fois par parties, calculer ∫ 2 1 2 ) (ln e dx x x . b) Calculer l’aire de la surface limitée par la courbe (Cf), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e². 4°) Soit g la fonction numérique définie par       = x f x g 1 ) ( . a) Etudier la fonction g : limites ; dérivée ; tableau de variations. b) Tracer la courbe (Γ) de g dans le repère ( ) j i O ; ; . c) Calculer ( ) ∫ −       + = 1 2 2 ln 1 ln 2 e x x x x K dx. En déduire l’aire de la surface limitée par la courbe (Γ ), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = e–2 et x = 1. B] Soit la fonction numérique f de la variable réelle x définie par      = ≠ − = 0 ) 0 ( 0 1 ) ( 1 f x si e x x x f x 1°) Donner le domaine de définition Df de f et étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition Df. 2°) Etudier le sens de variation de f. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé ( ) j i O ; ; . 3°) Calculer en fonction de e une mesure de l’aire de la surface de limitée par la représentation graphique (Cf) de f et par les droites d’équation : y = 0 ; x = 2 1 ; x =2. On pourra chercher une primitive de x x e 1 a par une intégration par parties. NB : Les parties A et B du problème sont indépendants. Compo 1ère période 2000 MTI-MTGC Page 02 Adama Traoré Professeur Lycée Technique uploads/S4/ i-1-a-2000 1 .pdf