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Corrigé de l’épreuve commune Activités numériques Exerice 1. 1. On calcule √4 +

Corrigé de l’épreuve commune Activités numériques Exerice 1. 1. On calcule √4 + 16 = √ 20 = √4 × 5 = √ 4 √ 5 = 2 √ 5 2. On factorise 36x2 −1 = (6x)2 −12 = (6x −1)(6x + 1) 3. On évalue pour x = 0 : (5x −3)2 = (5 × 0 −3)2 = (−3)2 = 9. Seule la troisième réponse donne ce résultat pour x = 0 : 25x2 −30x+9 = 25×02 −30×0+9 = 9. 4. Pour x = −2, on calcule x(x-3) = (−2)(−2 −3) = −2 × (−5) = 10. On aurait pu remarquer que, seule la première réponse pouvait donner, pour x négatif, une valeur positive plus petite (strictement) que 14. Exercice 2. D’une part, A = 2 3 + 17 2 × 4 3 = 2 3 + 68 6 = 4 6 + 68 6 = 72 6 = 12. D’une autre part, B = √ 6 √ 3 √ 16 √ 2 = √6 × 3 × 4 √ 2 = 4 √ 18 √ 2 = 4√9 × 2 √ 2 = 4 × √ 9 √ 2 √ 2 = 4 × 3 = 12. Conclusion : A = B. Exercice 3. a) Utilisons l’algorithme d’Euclide : 7 650 = 4 114 × 1 + 3 536 4 114 = 3 536 × 1 + 578 3 536 = 578 × 6 + 68 578 = 68 × 8 + 34 68 = 34 × 2 Donc : PGCD(7 650; 4 114) = 34. b) On calcule C = 5 √ 4 114 − √ 7 650 = 5√121 × 34 −√225 × 34 = 5 √ 121 √ 34 − √ 225 √ 34 Donc : C = 5 × 11 √ 34 −15 √ 34 = 55 √ 34 −15 √ 34 = 40 √ 34. 1 Exercice 4. a) On calcule D2 = ( √ 18)2 = 18. Puis, (5 + 3 √ 2)2 = 52 + 2 × 5 × 3 √ 2 + (3 √ 2)2 = 25 + 30 √ 2 + 9 × 2 = 43 + 30 √ 2. b) On calcule C −D = √ 18 −(5 + 3 √ 2) = √9 × 2 −5 −3 √ 2 = √ 9 √ 2 −5 −3 √ 2 = 3 √ 2 −5 −3 √ 2 = −5 C’est un entier négatif ! Exercice 5. On utilise la formule : durée = distance vitesse Calculons la durée en heures : durée = 80 75h = 16 15h = (15 15 + 1 15)h = 15 15h + 1 15h = 1h + 1 15h. Or, 1 15h = 1 15 × 1 h = 1 15 × 60 min = 60 15 min = 4 min. Donc la durée recherchée est de 1h 4min. Exercice 6. Pour comparer ces trois nombres, on peut les écrire sous forme scientiﬁque : Vénus : 105 × 106 = 1, 05 × 108 Mars :2 250 × 105 = 2, 225 × 108 Terre : 1, 5 × 108 Parmi ces trois planètes, la plus éloignée est Mars. 2 Activités géométriques Exercice 1. 1. Dans le triangle OAC rectangle en C, le théorème de Pythagore permet d’écrire que : OA2 = OC2 + CA2 . Donc : 62 = 32 + CA2 Donc : CA2 = 36 −9 = 27 Donc : CA = √ 27 = √9 × 3 = √ 9 √ 3 = 3 √ 3. 2.a. Les points O, E et C sont alignés, donc les droites (AC) et (NS) sont perpendiculaires à la même droite (EC), donc la droite (AC) est parallèle à la droite (NS). b. Les points A,O,S sont alignés, ainsi que les points C,O,E. De plus, les droites (AC) et (ES) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès on peut conclure que : OA OS = OC OE = AC ES . Donc : 6 OS = 3 5 = 3 √ 3 ES . • D’une part : 6 OS = 3 5, l’égalité des produits en croix donne : OS = 6 × 5 3 = 10. • D’une autre part : 3 5 = 3 √ 3 ES , l’égalité des produits en croix donne : ES = 5 × 3 √ 3 3 = 5 √ 3. 3. Dans le triangle ONE rectangle en E : cos(\ NOE) = OE ON Donc : cos(30 ˚ ) = 5 ON , donc (encore les produits en croix ) : ON = 5 cos(30 ˚ ) ≈5, 773(arrondi au millième). 3 Exercice 2. 1. Les points C,A,E et R,A,S sont alignés dans le même ordre. De plus : AR AS = 3, 2 8 = 0, 4 AC AE = 2 5 = 0, 4          Donc AR AS = AC AE . D’après le théorème réciproque du théorème de Thalès, on peut conclure que les droites (CR) et (SE) sont parallèles. 2. On vient de démontrer que les droites (CR) et (SE) sont parallèles. Le théorème de Thalès permet de conclure que : AR AS = AC AE = CR ES . Donc, en particulier : 2 5 = 3, 6 ES , donc : ES = 3, 6 × 5 2 = 9. 3. Les longueurs du triangle ASE doivent être multipliées par 0, 4 pour obtenir les longueurs du triangle CRA. 4. L’aire du triangle ASE doit être multipliée par 0, 42 = 0, 16 pour obtenir l’aire du triangle CRA. Aire(CRA) = 0, 16 × 6 √ 11 cm2 = 0, 96 √ 11 cm2. 4 Problème Partie A 1) Le prix de 200 saladiers est de 200 × 4, 5 euros, c’est à dire 900 euros. 2) Le prix de x saladiers est de x × 4, 5 euros. La fonction f(x) = 4, 5x. C’est donc une fonction linéaire dont le coeﬃcient de linéarité est 4, 5. 3) On calcule f(180) = 180 × 4, 5 = 810. 180 saladiers coûtent 810 euros. 4) On cherche le nombre x qui vériﬁe f(x) = 270. On résout : 4, 5x = 270. On obtient : x = 270 4, 5 = 60. Le prix de 60 saladiers est de 270euros. 5) Voir ci-dessous. 6) Itou. x′ x O y′ y 100 60 180 100 270 810 Cf 5 Partie B 1) On calcule 10% de 30 : 30 × 10 100 = 3. Armelle a vendu 3 saladiers de plus que Sophie, donc Armelle en a vendu 33. On aurait pu calculer directement 110% de 30. Ce qui donne évidemment 33 ! ! 2) Il a été vendu au total 84 saladiers. Sophie en a vendu les 30 84, soit, 36% (arrondi à l’unité). 3) Notons N le nombre de saladiers en stock. Le responsable a vendu 20% du stock, ce qui représente 84 saladiers, donc : N × 20 100 = 84 On résout. Il vient : N = 84 × 100 20 = 420. Le responsable avait 420 saladiers en stock. 6 uploads/S4/ corrige-epreuve-commune.pdf