Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Exercice 1 (3 points) Une seule des trois réponses est correcte. Cocher la bonn

Exercice 1 (3 points) Une seule des trois réponses est correcte. Cocher la bonne en justifiant. 1. On désigne par f une fonction dérivable sur  2,2  , impaire telle que ( 2) (1) 3 f f    . Alors la courbe de f admet une tangente parallèle à la droite dont une équation: a) 3 y x  b) y x  c) y x  2. Soit f une fonction impaire et strictement monotone sur ℝ, alors la fonction réciproque de f est : a) impaire b) paire c) n’est ni paire ni impaire 3. h est la composée de trois symétries orthogonales d’axes strictement parallèles alors h : a) est une symétrie orthogonale b) est une symétrie glissante c) 1 h h  Exercice 2 (3 points) a et b deux réels strictement positifs avec a b. 1. Montrer que pour tout naturel n 1  :     1 1 ( 1) ( 1) n n n n n a b a b a n b b a          2. Etudier alors la monotonie de la suite   n u définie pour n naturel non nul par : 1 1 n n u n         . 3. a) Montrer que pour tout réel positif x et pour tout naturel non nul  1 1 n x nx   . b) Déduire que la suite u est minorée. Exercice 3 (5 points) Le plan est orienté dans le sens direct, ABC est un triangle équilatéral direct et H le milieu de   BC . Le cercle C de centre A et de rayon AB coupe la demi-droite   HA en un point I. On note J le symétrique de I par rapport à (AC). 1. Montrer que     , 2 3 BI CJ    . 2. a) Montrer qu’il existe un unique déplacement f qui transforme B en C et I en J. b) Montrer que f est une rotation que l’on caractérisera. 3. Caractériser l’application   AI f S . 4. La droite (AC) recoupe le cercle C en D. On pose     AI BD g S S  . a) Montrer que g est une translation dont on donnera le vecteur. b) Caractériser l’isométrie f g . c) Soit K l’antécédent de J par f g . Montrer que BCIK est un parallélogramme. Lycée pilote de Tunis Devoir de synthèse 1 Terminales Maths Mr Ben Regaya. A + Eléments de corrections www.ben-regaya.net Exercice 4 (7 points) On considère la fonction f définie sur ; 4 4         par 1 ( ) 1 f x tanx  . 1. Etudier les variations de f sur ; 4 4         et en déduire que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J que l’on précisera. 2. a) Montrer que h est dérivable sur J. b) Vérifier que pour tout x∊ J ;   1 ( ) 1 tan h x x  . c) Déduire que pour tout x∊ J ;   2 2 1 '( ) 1 h x x x    . 3. a) Montrer que pour tout 1 n , il existe un unique réel n a ∊ ; 4 4         tel que 3 ( ) n f a n  . b) Etudier la monotonie de la suite a et en déduire qu’elle converge vers un réel que l’on calculera. 4. On considère la fonction g définie sur   ;0  par : 1 g( ) 1 ; 0 (0) 4 x h x x g                  . a) Montrer que g est continue à gauche en 0. b) Montrer que g est dérivable sur ]-∞ ;0[ et calculer g’(x) pour tout 0 x . 5. a) Montrer que pour tout 0 x , il existe un réel c ∊]0,x[ tel que 2 ( ) 1 4 1 ( 1) g x x c     . b) En déduire que g est dérivable à gauche en 0 et que  ' 1 0 2 g g  . 6. Soit s la suite définie par 2 3 2 1 1 , 0 n n k k s g n n n           .Montrer que s converge vers 0. Exercice 5 (2 points) Soit un complexe fixé. 1. Déterminer les complexes z tels que     2 2 2 0 z iw z iw w      . On notera z1 et z2 les deux solutions. 2. Déterminer le lieu géométrique des complexestels que les points M, A, B d’affixes, z1 , z2 respectivement soient alignés. Exercice 1 1. f est dérivable sur  2,2  , donc continue sur cet intervalle, d’après le théorème des accroissements finis il existe c ∊  2,2  tel que ( 2) (1) '( ) 2 1 f f f c     ou encore il existe c ∊  2,2  tel que '( ) 1 f c . Alors la courbe de f admet une tangente parallèle à la droite dont une équation: y x . 2. f est une bijection de ℝ sur f(ℝ) ( ) ; x f y y  ∊ℝ 1( ) ; y f x x    ∊ f(ℝ) y ∊ℝ  - y ∊ℝ   f y  ∊ f(ℝ) - f(y) ∊ f(ℝ) ( f impaire )  x  ∊ f(ℝ) Ainsi x ∊ f(ℝ) x  ∊ f(ℝ)      1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) f x f f y f f y y f x           et donc 1 f est impaire. 3. 1 2 3 D D D h S S S  les droites étant strictement parallèles Donc 3 2 D IJ h t S  avec I est un point de 2 D et J le projeté orthogonale de I sur 1 D . et comme   3 IJ D  alors 3 3 D D D D h S S S S   avec   3 IJ D t D  . D h S  et donc 1 h h  . Exercice 2 1. Soit f définie sur ℝ par 1 ( ) n f x x   . f est dérivable sur ℝ et   '( ) 1 n f x n x   . Pour a et b réels strictement positifs avec a b.           1 1 1 1 '( ) 1 n n n n n n n n a x b a x b n a n x n b n a f x n b                 . D’après le théorème des inégalités des accroissements finis         1 ( ) ( ) 1 n n n a b a f b f a n b b a                1 1 1 1 n n n n n a b a b a n b b a           c’est le résultat demandé. 2. On a : 1 1 1 1 1 1 1 n n n n u u n n                     et d’après la première question avec 1 b n  et 1 1 a n   , on peut écrire :     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n                                                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n  uploads/S4/ devoir-de-synthese-1.pdf