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EXAMEN BLANC 2 juin 2020 Mati` ere :Math´ ematiques Niveau : 2BACSE Dur´ ee :2h

EXAMEN BLANC 2 juin 2020 Mati` ere :Math´ ematiques Niveau : 2BACSE Dur´ ee :2h Premi` ere Partie. Exercice 1(6pts) Soit la suite num´ erique (Un) d´ eﬁnie par :U0 = 0 et ∀n ∈N :Un+1 = 2 5Un +1 1 Calculer U1 et U2. 2 Montrer que :∀n ∈N:Un < 5 3 3 V´ eriﬁer que :Un+1 −Un = −3 5(Un −5 3). En d´ eduire la monotonie de la suite (Un) et qu’elle est convergente . 4 Soit la suite (Vn) d´ eﬁnie par :∀n ∈N : Vn = Un −5 3. a) Montrer que (Vn) est g´ eom´ etrique de raison q = 2 5 b) D´ eterminer Vn puis Un en fonction de n. c) Calculer limUn. d) Calculer la somme U0 +U1 +.....+U9 Exercice 2(10pts). I On consid` ere la fonction num´ erique g d´ eﬁnie sur ⌉0;+∞⌉par :g(x) = x2 −1+lnx. 1) Calculer lim x→0+ g(x) et lim x+∞g(x) 2) Calculer g′(x) puis en d´ eduire que g est strictement croissante sur ]0;+∞] 3) Calculer g(1) puis en d´ eduire que ∀x ∈]0;1] : g(x) ≤0 et ∀x ∈[1;+∞[: g(x) ≥0 II On consid` ere la fonction f d´ eﬁnie sur ]0;+∞] par :f(x) = x+1−lnx x . On d´ esigne par (Cf ) sa courbe repr´ esentative dans un rep` ere orthonorm´ e (o;⃗ i;⃗ j) 1) Calculer lim x→0+ f(x) et interpr´ eter g´ eom´ etriquement le r´ esultat obtenu. 2) a) Calculer lim x→+∞f(x) b) Montrer que la droite (D) : y = x+1 est une asymptote oblique de (Cf ) au voisinage de +∞ 3) a) Montrer que f ′(x) = g(x) x2 pour tout que x de ]0;+∞] b) Etudier le signe de f ′(x) et dresser le tableau de variations de la fonction f. 4) a) Montrer que f ′′(x) = 3−2lnx x3 pour tout x de ]0;+∞] b) Montrer que (Cf ) admet un point d’inﬂexion d’abscisse e 3 2 c) Construire (Cf ) dans le rep` ere (o;⃗ i;⃗ j) KHOUYAMOH Deuxi` eme Partie. Note : le candidate aura exclusivement le choix de r´ epondre Soit aux questions d’exercice 3 Soit aux questions d’exercice 4. Exercice 3 (4pts) Soit f la fonction d´ eﬁnie sur ]1;+∞] par :f(x) = x2+1 x−1 1) Montrer que ∀x ∈]1;+∞] : f(x) = x+1+ 2 x−1 2) En d´ eduire les fonctions primitives de la fonction f sur ]1;+∞] 3) D´ eterminer la fonction primitive G(x) tel que G(2) = 0 Exercice 4 (4pts) 1) R´ esoudre dans R les ´ equations suivantes : a) e3x = 1 b) e(x−1)(x−2) = 1 c) e2x +ex −2 = 0 2) R´ esoudre dans R les in´ equations suivantes . a) e−x+7 > ex b) e2x ≥3 c) e2x +ex −2 ≥0 KHOUYAMOH uploads/S4/ exam-blanc.pdf