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NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction, de la rigueur et de la

NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction, de la rigueur et de la représentation des copies 1pt 1pt 1.5pts 1pt 0.5pt 1pt 1pt 1pt 1pt 0.5pt 0.5pt 1pt 1pt 1pt 0.5pt 1.5pts 1pt 1.5pts 1pts 1.5pts Problème ( 20 pts ) Partie I Considérons la fonction g définie sur l’intervalle   1, par     2 1 ln 1 g x x x x    1) Calculer et    1 lim x g x   et  lim x g x  . 2) Calculer  g x  pour tout   1, x,puis donner le tableau de variations de g . 3) a- Montrer que l’équation  0 g x  admet exactement deux solutions et  tel que 1 1 e    puis que 0  et 15 4 4   . On prend 15 0,1 4 g       et  4 0,045 g  b- Donner le tableau des signes de  g x pour tout   1, x . Partie II Considérons la fonction f définie par :     ln 1 , 0 0 0 x f x x x f          et soit   f C sa courbe dans un repère orthonormé . 1) Déterminer f D domaine de définition de f . 2) a- Montrer que f est continue à droite en 0 . b- Etudier la nature de la branche infinie de   f C au voisinage de  . 3) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat . 4) a- Montrer que f est dérivable sur  0, et que         0, 2 1 g x x f x x x x      . b- Donner le tableau de variations de f . 5) Montrer que  2 1 f     . 6) Tracer   f C ( on prend  0.8 f  ) . 7) Soit h la restriction de f à l’intervalle   ,  . a- Montrer que h est une bijection de   , vers un intervalle J qu’il vaut déterminer . b- Montrer que 1 h , fonction réciproque de h , est dérivable sur     , h  . c- Tracer   1 h C  dans le même repère et avec une autre couleur . 8) Donner la primitive F de la fonction :     3 1 1 ln 2 1 1 x x x x x x            sur l’intervalle  0,tel que  0 lim 0 x F x    . Partie III ( On donne ln2 0.69 ) 1) Montrer pour tout   0,1 n  , l’équation  1 f x n  admet une solution unique n a dans   0,1 . 2) Montrer que la suite   2 n n a est strictement décroissante , puis déduire qu’elle est convergente . 3)a- En utilisant le théorème des accroissements finis montrer que       0,1 : ln 1 2 x x x x     . b- Déduire que   2 2 1 4 2 n n a n n    , puis donner la valeur de lim n n a  . Mathematics serves to develop our ability to think 2ème année Sciences Mathématiques Devoir surveillé n° 3 2019-2020 Lycée Ibn Abdoun – Khouribga Durée : 2h Mr.EL ABBASSI Med uploads/S4/ ds3-2sm-2019-2020.pdf