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UNIVERSITE HASSAN II GP2 2019/2020 Ecole Supérieure de Technologie Département

UNIVERSITE HASSAN II GP2 2019/2020 Ecole Supérieure de Technologie Département Génie des procédés Compléments de Mathématiques : M12B Liste d'exercices. 1 Fonctions à plusieurs variables réelles Exercice 1 : Déterminer les domaines de dé nition des fonctions suivantes : f(x, y) = ln(y −x2) ; f(x, y) = p 1 −(x2 + y2). Exercice 2 : Soit la fonction f dé nie sur R2 par f(x, y) = xy x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) et f(0, 0) = 0. Calculer limite de f quand (x, y) tend vers (0, 0) dans les 3 cas suivants : 1. sur l'axe x'Ox, 2. sur l'axe y'Oy, 3. sur la droite y = x. En déduire que f n'est pas continue en (0, 0). Exercice 3 : 1. Soit f(x, y) = 2x3 −x2y + 4y2. Calculer ∂f ∂x(0, 0) ; ∂2f ∂x∂y (1, 1) ; ∂2f ∂x2 (0, 2) 2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de la fonction f(x, y) = ln p x2 + y2. Puis calculer le laplacien ∆f(x, y) = ∂2f ∂x2 (x, y) + ∂2f ∂y2 (x, y). Exercice 4 : Soit f(x, y) = xyex+y. 1. Calculer ∂f ∂x et ∂f ∂y . 2. Pour quelles valeurs de (x, y) a-t-on ∂f ∂x(x, y) = ∂f ∂y (x, y) = 0 ? 3. Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f. 4. Evaluer les dérivées partielles de la question précédentes aux points trou- vés dans la question 2. 5. Les points trouvés en 2. sont-ils des extremums de f ? 1 Exercice 5 : Déterminer les extremums de la fonction : f : R2 − → R (x, y) 7− → f(x, y) = xy(1 −x −y). Exercice 6 : Soit la fonction f à deux variables réelles dé nie pour tout (x, y) ∈ R2 par : f(x, y) = sinh2(x + y) + cosh2(x −y). Montrer que f admet un extremum et préciser sa nature. Exercice 7 : Calcul du Laplacien en coordonnées polaires. Soit f une fonction à deux variables x et y admettant des dérivées partielles secondes continues. On rappelle que le Laplacien de f noté ∆f est la fonction ∆f = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 . 1. En posant g(r, θ) = f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ), montrer que ∆f = ∂2g ∂r2 + 1 r2 ∂2g ∂θ2 + 1 r ∂g ∂r . 2. On dit que f est harmonique si ∆f = 0. Est-ce que la fonction f(x, y) = p x2 + y2 est harmonique ? Exercice 8 : 1. Soit f : (x, y) 7→2x3 −x2y + 4y2. Calculer ∂f ∂x(0, 0), ∂2f ∂x∂y (1, 1) et ∂2f ∂y2 (0, 2). 2. On considère la fonction f(x, y) = e(y−1)x sin x. Montrer que ∂f ∂y (x, y) −1 x ∂2f ∂y2 (x, y) = 0. 3. Soit la fonction à deux variables dé nies par f(x, y) = 1 p x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0). Montrer que x∂f ∂x + y ∂f ∂y = −f et que ∆f = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 = f 3. 2 2 Intégrales doubles et triples Exercice 1 : Calculer les intégrales suivantes : 1. Z Z D (x + y)−2dxdy, où D = {(x, y) ∈R2| 1 ≤x ≤2, 0 ≤y ≤x2}. 2. Z Z ∆ e−(x2+y2)dxdy, où ∆= {(x, y) ∈R2 | x ≥0, y ≥0, x2 + y2 ≤R2}, avec R réel strictement positif. Exercice 2 : Calcul d'intégrales doubles. 1. Calculer de deux manières, d'abord en coupant à y constant, puis à x constant : I = ZZ D xy dxdy o` u D = {(x, y) ∈R2 | x ≥0, 0 ≤y ≤1, x + y ≤3}. 2. Calculer I = RR D(x + x y ) dxdy ou D est le rectangle [0, 1] × [1, e]. 3. Calculer I = ZZ D xex+2xy dxdy o` u D = {(x, y) ∈R2 | x ≤2, y ≤2, xy ≥2}. Exercice 3 : On considére la partie D ⊂R2 dé nie par : D = {(x, y) ∈R2|x2 ≤y ≤1}. Calculer l'intégrale ZZ D (x2 + y2) dxdy. Exercice 4 : Utilisation des coordonnées polaires. 1. Calculer I = RR C(x2 + y2) dxdy oé C est le quart de disque de centre O, de rayon 2, avec en plus x ≥0 et y ≥0. 2. Calculer I = RR D p x2 + y2 dxdy oé D = {(x, y) ∈R2 | x2 + y2 ≤1, y ≥ 0} 3. Calculer I = RR D y dxdy oé D = {(x, y) ∈R2 | y ≥0, (x −1)2 + y2 ≤1}. Exercice 5 : Déterminer le centre de gravité du domaine de R2 limité par le cercle de centre O et de rayon 1 et par les demi-droites θ = π 6 et θ = π 2 . Exercice 6 : Aire d'une ellipse. Calculer l'aire d'une ellipse d'équation x2 a2 + y2 b2 = 1. 3 Exercice 7 : Calculer les intégrales suivantes : ZZ D 2xe−ydxdy , D = {(x, y) ∈R2| 0 < x < 1, 0 < y < 1, x < y}. puis calculer l'aire de D. ZZ D xdxdy , D = {(x, y) ∈R2| −1 < x, 1 < y < 2, xy < 1}. . Exercice 8 : Soit ∆= {(x, y) ∈R2| x > 0, y > 0, x + y < 1}. Calculer ZZ ∆ e x −y x + y dxdy en utilisant le changement de variable u = x + y et v = x −y. Exercice 9 : Soit la fonction ϕ é deux variables dé nie par ϕ(x, y) = ln(x + y) + y exp(x + y). 1. (a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de ϕ. (b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de ϕ. (c) Calculer la fonction E(x, y) = ∂2ϕ ∂x2 (x, y) −2 ∂2ϕ ∂x∂y (x, y) + ∂2ϕ ∂2y (x, y). 2. Soit le domaine ∆⊂R2 limité par l'axe des abscisses (x′Ox), l'axe des ordonnées (y′Oy) et la droite d'équation y = 1 −x. (a) Représenter ∆dans un repére orthonormé de R2. (b) Calculer l'intégrale double ZZ ∆ ϕ(x, y) dxdy. Indication : pour achever les calculs utiliser des intégrations par par- tie. Exercice 10 : Volume de la sphére. Retrouver l'expression du volume de la sphère de rayon R par : 1. le calcul d'une intégrale triple, 2. une intégration par couches en sections horizontales. 4 uploads/S4/ td2-gp19-m12b.pdf