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PROMATHS TS2 PROBLEMES DE SYNTHESE ouse4@yahoo.fr / 557 11 39 97 Notre plus gra

PROMATHS TS2 PROBLEMES DE SYNTHESE ouse4@yahoo.fr / 557 11 39 97 Notre plus grande gloire sur terre, ce n’est pas de ne jamais tomber ; mais de nous relever à chaque fois que nous tombons. Il faut continuer à travailler. PROBLEME 1 A. Soit g la fonction définie par :            x 1 x 1 ln x 1 ) x ( g . 1) Etudier les variations de g et prouver qu’il existe un unique réel α ] 0, 1 [ tel que g (α) = 0. Vérifier que 1 2 1    . 2) Etudier le signe de g (x) suivant les valeurs de x sur ] 0, 1 [. B. Soit f la fonction définie par :           x 1 x 1 ln ) 1 2 x ( (x) f a) Déterminer f D . b) Démontrer qu’il existe une fonction f1 continue sur [ – 1, 1 ] et égale à f sur f D . 3) a) Montrer que l’étude de f1 peut se réduire à l’intervalle[ 0, 1 ]. b) Etudier la dérivabilité de f1 en 1. c) Dresser le tableau de variation de f1 puis tracer 1 f C . ( Vérifier que f1(α) =    1 ). 4) a) Démontrer que pour tout x distinct de 1 et de – 1, on a : 1 2 x x 2 x 2 x 1 x 3 3 x       . b) Soit λ un réel ] 0, 1 [. En intégrant par parties, calculer dx λ 0 x 1 x 1 ln 1) 2 x (           . En déduire l’aire du domaine compris entre la courbe de f1, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = λ. PROBLEME 2 ( BAC D 1994 1er GROUPE ) On considère la fonction f définie par : ) 2 x ( x e 2 1 (x) f   PARTIE A 1) Etudier les variations de la fonction f. Etudier les branches infinies puis construire la courbe représentative (C) de la fonction f. Construire la tangente à (C) au point d’abscisse 0. 2) Déterminer un couple de réels a et b pour que la fonction F définie par : ) b ax ( x e 2 1 (x) F   soit une primitive de f. Exprimer, en fonction du réel α (α ≤ 2), l’aire A (α) de l’ensemble des points M (x, y) définis par : α ≤ x ≤ 2 et f (x) ≤ y ≤ 0. Calculer cette aire pour α = 0 et donnez – en une valeur approchée à 10 – 2 près par défaut. Déterminer la limite de A (α) lorsque α tend vers – ∞. PARTIE B Dans cette partie f ( n ) désigne la fonction dérivée d’ordre n de f. . 1) Calculer f ’’(x). Montrer plus généralement que pour tout entier n ≥ 1, si : ) n 2 x ( x e 2 1 n) ( f    alors : ] ) 1 n ( 2 x [ x e 2 1 1) n ( f      2) Exprimer alors en fonction de x et de n, la somme S n (x) définie par : ) x ( ) n ( f ... ) x ( , , f ) x ( , f ) x ( f ) x ( n S      . Calculer le nombre ) 0 ( 7 S . PROBLEME 3 On considère la fonction f définie par :            0 x si x x) (1 ln (x) f 1 (0) f A. Dérivabilité en 0 1) Soit g la fonction définie sur [ 0, + ∞ [ , par ) 3 3 x 2 2 x (x ) x 1 ( ln (x) g      . Déterminer le sens de variation de g sur [ 0, + ∞ [ puis en déduire que 3 3 x 2 2 x x ) x 1 ( ln     2) Par une étude analogue montrer que   x [ 0, + ∞ [ 2 2 x x ) x 1 ( ln    3) Démontrer que pour tout x > 0 : 3 x 2 1 2 x x x) (1 ln 2 1        4) En déduire que f est dérivable en 0 et f ’(0) = 2 1  B. Etude des variations de f. 1) Soit f ’ la fonction dérivée de f, démontrer que pour tout x ] 0, + ∞ [ :           x) (1 ln x 1 x 2 x 1 (x) ' f 1) Soit U la fonction définie par : x) (1 ln x 1 x U(x)     ; U D = [ 0, + ∞ [. 2) Etudier le sens de variation de U en déduire le signe de U(x) pour x [0, + ∞ [. Calculer f(x) x lim    Dresser le tableau de variation de f puis tracer f C dans un repère orthonormé. (Unité 1 cm). PROBLEMES DE SYNTHESE PROMATHS TS2 PROBLEMES DE SYNTHESE ouse4@yahoo.fr / 557 11 39 98 PROBLEME 4 PARTIE A. Soit g la fonction définie par : x ln 1 2 x (x) g    1) Montrer que g est paire. Calculer g (1). 2) Dresser le tableau de variation de g. 3) Déduire de ce qui précède le signe de g (x) suivant les valeurs de x. PARTIE B. Soit f la fonction définie par : x x ln 1 x (x) f    . (C) sa courbe dans un repère orthonormé ) j , i , O (   ( Unité 2 cm ). 1) Etudier la limite de f en 0. Interpréter le résultat. 2) a) Déterminer les limites de f en + ∞ et en – ∞. b) Montrer que (D) : y = x + 1 est asymptote oblique à (C) en + ∞ et en – ∞. c) Montrer que (C) et (D) se coupent en deux points A et B dont les abscisses xA et xB vérifient xB < 0 < xA. Donner les coordonnées de A et B puis étudier la position de (C ) par rapport à (D). c) Montrer que le point d’intersection J des asymptotes à (C) est centre de symétrie pour (C). 3) Dresser le tableau de variation de f. 4) a) Calculer f (– e) et ) e 1 ( f  en fonction de e. b) Construire la courbe (C). PARTIE C 1) Tracer les droites ( D1) et ( D2) d’équations respectives x = – e et e 1 x   . Calculer l’aire de la partie du plan située dans la bande B de bords ( D1) et ( D2) et limitée par la courbe (C) et la droite ( D). PROBLEME 5 Soit f la fonction numérique définie par : f (x) = – x + e x –1 et Cf sa courbe dans un repère orthonormé ) j , i , O (   ( unité 1 cm ). PARTIE A 1) Calculer les limites de f aux bornes de Df puis étudier les branches infinies. Préciser la position de Cf avec son asymptote. 2) Etudier les variations de f puis en déduire le signe de f (x). 3) Construire Cf dans le repère. 4) Soit g la fonction définie par : g (x) = x + e – x – 1 a) Exprimer g (x) en fonction de f (x) b) Construire alors la courbe Cg de g dans le même repère que Cf 5) Calculer l’aire du domaine plan délimité par les courbes Cf et Cg et les droites d’équations x = – 1 et x = 1. PARTIE B Soit f définie par h (x) = ln (– x + e x – 1 ) de courbe Γ dans un repère orthonormé ) v , u , (    . 1) a) Déterminer l’ensemble de définition de h puis calculer les limites de h aux bornes de Dh. b) Montrer que 1 x   h (x) = x + ln (– x e – x + e – 1 ) c) Montrer que la droite d’équation y = x – 1 est une asymptote à Γ. 2) Etudier les variations de h puis dresser le tableau de variations de h. 3) Soit φ la restriction de h à l’intervalle I = ]1, + ∞ [ a) Montrer que φ réalise une bijection uploads/S4/ 13-problemes-de-synthese.pdf