Université Paris Descartes / UFR de Mathématiques et Informatique L3 MIA Systèm
Université Paris Descartes / UFR de Mathématiques et Informatique L3 MIA Systèmes de Communication Examen 2e session (1h30) - 20 juin 2008 Documents, calculatrices et téléphones interdits Il est attendu la plus grande rigueur dans la rédaction des réponses, qui devront être claires, courtes et précises à la fois. Les trois parties peuvent être abordées dans l’ordre qui vous convien- dra, mais les réponses à chaque partie ne devront pas être dispersées dans la copie. Vous trouverez en annexe quelques compléments éventuellement utiles. 1 Questions de cours (6 points) a) Dans le codage d’une trame MPEG-1, le nombre de bit par échantillon dans chaque bande i doit respecter la relation ni > P i dB−Mi 6 , où P i dB et Mi désignent respectivement la puissance du signal et le seuil de masquage dans la ieme bande. D’autre part, la somme des ni doit rester inférieure à une certaine valeur N qui dépend du débit autorisé. Quel problème peut survenir ? Par quel mécanisme y remédie-t-on dans le codeur MP3 ? (ne pas donner simplement le nom du mécanisme, mais expliquer en quoi il consiste) b) Pourquoi la radio-diffusion utilise-t-elle les grandes longueurs d’onde ? c) Dans un système de communications, il faut trouver un compromis entre un débit raisonnable et une bonne protection des données, qui implique nécessairement une augmentation du débit. Ex- pliquer brièvement comment ce compromis est mis en œuvre dans le codage de la parole sur le GSM. d) Dans les systèmes de communications mobiles (GSM et UMTS), pourquoi entrelace-t-on les données après le codage de canal ? 1 2 Exercices 2.1 MAQ-8 (10 points) Les constellations de deux modulations de type MAQ-8 sont représentées sur la figure 1. On les note respectivement C1 et C2. Lors de l’émission d’un symbole de coordonnées (x, y), on reçoit, après démodulation, filtrage adapté et échantillonnage, un point (zc, zs) tel que : zc = x + bc zs = y + bs où bc et bs sont des variables aléatoires indépendantes, gaussiennes, centrées, de variance σ2. a) Ces constellations permettent-elle un codage de Gray ? (justifier) Pour la ou les constellation(s) le permettant, dessinez la constellation en indiquant sur chaque symbole le mot binaire associé. b) Sur la constellation C1, dessiner les zones de décisions associées aux différents symboles. On émet le symbole Sij = (λ, λ). Montrer que la probabilité de ne pas reconnaître ce symbole peut s’exprimer : P(Rij|Sij) = 1 −P(−λ < bc < λ)P(bs > −λ) En exploitant le caractère gaussien de bc et bs, exprimer P(Rij|Sij) à l’aide de la fonction Q : Q : x → 1 √ 2π Z ∞ x e−z2/2dz On simplifiera l’expression obtenue en considérant que, pour un bruit de canal modéré, Q(λ/σ) ≪1. On peut montrer ainsi que pour les 4 symboles centraux de la constellation, P(Rij|Sij) = 3Q(λ/σ), tandis que pour les 4 autres, P(Rij|Sij) = 2Q(λ/σ). En déduire la probabilité d’erreur par symbole PeS. c) L’énergie d’un symbole de coordonnées (x, y) vaut (x2 + y2)T/2, où T désigne la durée sym- bole. Calculer l’énergie moyenne par symbole, puis la puissance moyenne, pour les deux modula- tions. Pour quelle valeur de λ les deux modulations ont-elles la même puissance ? On prend désor- mais cette valeur. d) Pour chaque modulation, calculer le nombre moyen de plus proches voisins d’un symbole (i.e. le nombre de voisins situés à la distance minimale dmin de ce symbole). e) La probabilité d’erreur par symbole d’une modulation s’exprime : PeS = K.Q dmin 2σ où K désigne le nombre moyen de plus proches voisins d’un point de la constellation. Calculer la probabilité d’erreur par symbole pour chacune des deux modulation et vérifier votre résultat de la question b. Pour un débit et une puissance d’émission donnés, la constellation la plus intéressante est celle qui offre la plus faible probabilité d’erreur. Que peut-on conclure ici ? 2 C1 C2 y y x x 2 √ 3 2λ FIG. 1 – Constellations MAQ-8. Les traits pointillés relient les plus proches voisins. 2.2 Codage de canal (5 points) Soit un code en bloc linéaire défini par la matrice génératrice G suivante : G = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 a) Quel est le rendement de ce code ? b) Construire l’ensemble des mots de code. Quelle est la distance minimale de ce code ? En dé- duire les pouvoirs de détection et de correction. c) On reçoit le mot r = 111011. Décoder r selon la distance minimale (i.e. en recherchant le mot de code le plus proche du mot reçu). Ce décodage est-il fiable ? (justifier votre réponse). 3 Annexes Probabilités Soient une variable aléatoire Z et deux réels a et b : P(a < Z < b) = Z b a p(z)dz Densité de probabilité p d’une variable aléatoire gaussienne centrée Z de variance σ2 : p(z) = 1 σ √ 2π exp −z2 2σ2 3 uploads/S4/ ex2-2008.pdf
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- Publié le Mai 15, 2021
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