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http://mathematiques.ac.free.fr Terminale sp´ ecialit´ e Int´ egration −exercices corrig´ es Int´ egration Exercices corrig´ es Exercice 1 : (solution) Partie A On consid` ere la suite (un) d´ efinie pour tout entier naturel n non nul par, un = Z 1 0 (1 −t)net dt . 1. D´ eterminer les r´ eels a et b tels que la fonction f : t 7− →(at + b)et est une primitive de g : t 7− →(1 −t)et sur [0 ; 1]. En d´ eduire la valeur de u1. 2. Montrer ` a l’aide d’une int´ egration par parties que, pour tout n non nul, un+1 = (n + 1)un −1 (R) Partie B Dans cette partie, on se propose d’´ etudier la suite (un). 1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un ⩾0. 2. (a) Montrer que pour tout r´ eel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n (1 −t)net ⩽e × (1 −t)n. (b) En d´ eduire que pour tout n non nul, un ⩽ e n + 1. 3. D´ eterminer la limite de la suite (un). Exercice 2 : (solution) 0 1 2 3 4 5 6 −1 −2 1 2 3 4 # ” i # ” j O y = 4 C Soit f la fonction d´ efinie sur R par : f(t) = 4et et + 1 , et sa courbe C repr´ esent´ ee ci-contre. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : un = Z ln (n+1) ln n f(t) dt . 1. a) ` A l’aide de la courbe C, donner une interpr´ etation g´ eom´ etrique de un. b) ´ Etablir que, pour tout n ⩾1, un = 4ln n+2 n+1. 2. On pose pour tout n ⩾1, Sn = n X k=1 uk. Donner une interpr´ etation de Sn et d´ eduire du 1◦)b) une expression simple de Sn. 3. a) Calculer, en unit´ es d’aire, l’aire A (n) du domaine d´ elimit´ e par la courbe C, et les droites d’´ equations y = 4, x = 0 et x = ln (n + 1). b) D´ eterminer la limite de A (n) lorsque n tend vers +∞. Exercice 3 : (solution) Soit x un r´ eel positif. On pose f(x) = Z x 1 et t + 1 dt. 1/8 20 avril 2021 http://mathematiques.ac.free.fr Terminale sp´ ecialit´ e Int´ egration −exercices corrig´ es 1. a. Montrer que pour tout r´ eel x positif, ex x+1 ⩾1. b. En d´ eduire que f(2) ⩾1. 2. a. Montrer que f est continue sur R+. b. En d´ eduire qu’il existe un r´ eel c appartenant ` a [1 ; 2] tel que f(c) = 1. c. Calculer f ′(x). En d´ eduire que f est croissante. d. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x ⩾1, f(x) ⩾x −1. En d´ eduire la limite de f quand x tend vers +∞. Exercice 4 : (solution) Soit la suite u d´ efinie sur N par u0 = Z 1 0 1 √ 1 + x2 dx et pour tout entier n ⩾1, un = Z 1 0 xn √ 1 + x2 dx. 1. a) Soit f la fonction d´ efinie sur [0 ; 1] par f(x) = ln  x + √ 1 + x2  . Calculer la d´ eriv´ ee f ′ de f. En d´ eduire u0. b) Calculer u1. 2. a) Prouver que la suite u est d´ ecroissante. En d´ eduire que la suite u est convergente. b) Montrer que, pour tout r´ eel x de [0 ; 1], on a 1 ⩽ √ 1 + x2 ⩽ √ 2. En d´ eduire que, pour tout entier n ⩾1, on a 1 (n + 1) √ 2 ⩽un ⩽ 1 n + 1. D´ eterminer la limite de u. Exercice 5 : (solution) Soit h la fonction d´ efinie sur ]0 ; +∞[ par h(t) = 1 −ln t. 1. ´ Etudier le signe de h(t) sur ]0 ; +∞[. 2. Soit la fonction g d´ efinie sur ]0 ; +∞[ par g(t) = t(1 −ln t). a) D´ eterminer g′(t). b) En d´ eduire la primitive H de h sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en e2. 3. On consid` ere la suite v d´ efinie sur N par vn = Z e−n e−(n+1) 1 −ln t dt. a) Justifier que, pour tout entier n, on a vn ⩾0. b) Calculer vn en fonction de n. c) D´ eterminer la limite de v. 4. Pour tout entier n de N, on pose Sn = n X k=0 vk = v0 + v1 + · · · + vn. a) Exprimer Sn en fonction de n. b) D´ eterminer la limite de S. 2/8 20 avril 2021 http://mathematiques.ac.free.fr Terminale sp´ ecialit´ e Int´ egration −exercices corrig´ es Solution n◦1 : Partie A On consid` ere la suite (un) d´ efinie pour tout entier naturel n non nul par, un = Z 1 0 (1 −t)net dt . 1. f : t 7− →(at + b)et. f est d´ erivable sur [0 ; 1] comme produit de fonctions d´ erivables. f est une primitive de g : t 7− →(1 −t)et sur [0 ; 1] si, et seulement si f ′(t) = g(t), ∀t ∈[0 ; 1]. ∀t ∈[0 ; 1], f ′(t) = aet + (at + b)et = (at + a + b)et. Par identification, on a ( a = −1 a + b = 1 ⇐ ⇒ ( a = −1 b = 2 Ainsi, f(t) = (2 −t)et, ∀t ∈[0 ; 1] D’o` u, u1 = Z 1 0 (1 −t)et dt = Z 1 0 f ′(t) dt = h f(t) i1 0 = f(1) −f(0) = e −2 u1 = e −2 2. Pour tout entier naturel n non nul, un+1 = Z 1 0 (1 −t)n+1et dt . On pose : ϕn+1(t) = (1 −t)n+1et. ϕn+1 est d´ erivable sur [0 ; 1] comme produit et compos´ ee de fonctions d´ erivables, ϕ′ n+1(t) = −(n + 1)(1 −t)net + (1 −t)n+1et sur [0 ; 1]. Par passage ` a l’int´ egrale, Z 1 0 ϕ′ n+1(t) dt = −(n + 1) Z 1 0 (1 −t)net dt + Z 1 0 (1 −t)n+1et dt par lin´ earit´ e de l’int´ egrale ⇐ ⇒ h ϕn+1(t) i1 0 = −(n + 1)un + un+1 ⇐ ⇒ 0 −1 = −(n + 1)un + un+1 ⇐ ⇒ un+1 = (n + 1)un −1 Ainsi, pour tout n non nul, un+1 = (n + 1)un −1 (R) Partie B Dans cette partie, on se propose d’´ etudier la suite (un). 1. On a 0 ⩽t ⩽1, donc 1 −t ⩾0, (1 −t)n ⩾0 et 1 ⩽et ⩽e car la fonction exponentielle est croissante sur [0 ; 1]. Donc (1 −t)net ⩾0. Or l’int´ egrale d’une fonction positive sur un intervalle [a ; b] avec a < b est positive d’apr` es le th´ eor` eme de la positivit´ e. On en d´ eduit que un ⩾0 pour tout n non nul. 2. (a) On a vu que, pour tout n non nul, 0 ⩽t ⩽1 = ⇒ et ⩽e = ⇒ (1 −t)net ⩽e × (1 −t)n car (1 −t)n ⩾0, ∀t ∈[0 ; 1]. (b) D’apr` es le th´ eor` eme de comparaison des int´ egrales sur [0 ; 1], on a Z 1 0 (1 −t)net dt ⩽ Z 1 0 e(1 −t)n dt, pour tout n non nul. soit , un ⩽ Z 1 0 e(1 −t)n dt, pour tout n non nul. Z 1 0 e(1 −t)n dt =  − e n + 1 × (1 −t)n+1 1 0 = e n + 1 D’o` u, un ⩽ e n + 1, pour tout n non nul. 3. On a donc d´ emontr´ e au 1. et au 2. b. que pour tout n non nul : 0 ⩽un ⩽ e n + 1. 3/8 20 avril 2021 http://mathematiques.ac.free.fr Terminale sp´ ecialit´ e Int´ egration −exercices corrig´ es Par application du th´ eor` eme des « gendarmes », la limite de un au voisinage de +∞est ´ egale ` a z´ ero. La suite (un) converge donc vers 0. Solution n◦2 : 0 1 2 3 4 5 6 −1 −2 1 2 3 4 # ” i # ” j O y = 4 C Soit f la fonction d´ efinie sur R par : f(t) = 4et et + 1 , et sa courbe C repr´ esent´ ee ci-contre. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : un = Z ln (n+1) ln n f(t) dt . 1. a) De mani` ere ´ evidente, f est continue sur R et f(t) ⩾0, ∀t ∈R. Ainsi, un = Z ln (n+1) ln n f(t) dt repr´ esente l’aire (en unit´ es d’aire) du domaine situ´ e entre la courbe C, l’axe uploads/S4/ exercices-corriges-integration-ts.pdf

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• Détails
• Publié le Jan 15, 2022
• Catégorie Law / Droit
• Langue French
• Taille du fichier 0.1057MB