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Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 1 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] Introduction Programme selon les sections : - exponentielle et logarithme népérien : S, ES/L, STI2D, STL, hôtellerie - exponentielles de base a : ES/L, ST2S, STI2D, STL - logarithmes de base a : STI2D, STL - logarithme décimal : ST2A, ST2S Pré-requis : Etude de fonctions – limites – puissances Plan du cours 1. Fonctions exponentielles 2. Fonctions logarithmes 1. Fonctions exponentielles A. Etude de la fonction exponentielle Définition : - Une bijection est une fonction telle que chaque image admet un unique antécédent. Ex : la fonction définie sur R est une bijection. Pour tout il existe un unique tel que ( ). La fonction carrée n’est pas une bijection. Pour tout il existe deux réels dont l’image est : et . Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui à tout appartenant à R associe . On la note ou . est un nombre réel valant environ . Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 2 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] Propriétés : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. La fonction exponentielle est strictement positive sur R. La fonction exponentielle est une bijection de dans : pour tout il existe un unique tel que . (n entier naturel) Pour tout , et pour tout , . Représentation graphique : Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 3 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] Dérivées : - La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa dérivée est : La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. - Soit une fonction u définie et dérivable sur I. Alors la fonction est définie et dérivable sur I et sa dérivée est : Ex : Opérations : Soient a et b deux réels. On a : (d’où ) Remarque : on retrouve ici toutes les propriétés des opérations avec des puissances. B. Fonctions exponentielles de base a Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est la fonction qui à tout appartenant à R associe . La fonction que l’on appelle exponentielle est la fonction exponentielle de base e. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 4 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] Les propriétés des opérations sont les mêmes que pour la fonction exponentielle. Propriétés : Une fonction exponentielle de base a est strictement positive sur R. - Si : La fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur R. - Si : La fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur R. Remarque : ces propriétés sont le prolongement de celles concernant les suites géométriques. 2. Fonctions logarithmes A. Etude de la fonction logarithme népérien Définition : - Si une fonction f est une bijection définie sur I, on appelle sa bijection réciproque la fonction g qui à tout associe . Remarque : une bijection réciproque est elle-même une bijection. Fonction logarithme népérien : La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle étant strictement positive, la fonction logarithme népérien est donc définie sur . On la note . Propriétés : On a : et Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 5 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur R. La fonction logarithme népérien est une bijection de dans : pour tout il existe un unique tel que . si et seulement si (n entier naturel) Pour tout , et pour tout , . Représentation graphique : Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 6 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] Dérivées : - La fonction logarithme népérien est dérivable sur et sa dérivée est : - Soit une fonction u définie et dérivable sur I, et telle que pour tout Alors la fonction est définie et dérivable sur I et sa dérivée est : Ex : Opérations : Soient a et b deux réels strictement positifs. On a : (d’où ) B. Fonctions logarithmes de base a Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. La fonction logarithme de base a est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base a. La fonction exponentielle de base a étant strictement positive, la fonction logarithme de base a est donc définie sur . Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC Séries S – ES/L – STI2D – STL – ST2S – ST2A – hôtellerie – Mathématiques FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 7 LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] On la note . On a : . La fonction que l’on appelle logarithme népérien est la fonction logarithme de base e. Les propriétés des opérations sont les mêmes que pour le logarithme népérien. Propriétés : - Si : La fonction logarithme de base a est strictement croissante sur R. - Si : La fonction logarithme de base a est strictement décroissante sur R. Logarithme décimal : La fonction logarithme décimal est la fonction logarithme de base 10. On la note . On a : On retrouve le logarithme décimal dans le calcul du pH ou la mesure des décibels. uploads/S4/fonction-exponentielle-resume-03 1 .pdf