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Corrige examen 2008 1 Universit ?e Claude Bernard Lyon I Licence STS troisieme ann ?ee topologie Lundi juin Examen de topologie Dur ?ee H Aucun document autoris ?e Bareme indicatif points Questions de cours Traiter une et une seule des questions suivantes

Universit ?e Claude Bernard Lyon I Licence STS troisieme ann ?ee topologie Lundi juin Examen de topologie Dur ?ee H Aucun document autoris ?e Bareme indicatif points Questions de cours Traiter une et une seule des questions suivantes Montrer que dans un espace m ?etrique toute suite de Cauchy est born ?ee Montrer que tout espace m ?etrique compact est complet Exercice Soit X d un espace m ?etrique On rappelle que d X ? X ? R est continue Soit K ? X K ? On note diam K d ef supx y ??K d x y Enoncer le th ?eoreme de Weierstrass En d ?eduire que si K est compact alors le diametre de K est r ?ealis ?e c ? est a dire ?? x y ?? K tels que d x y diam K Soit A ? X un ensemble non vide On suppose que ?? a a ?? A avec a a on a d a a ? Montrer que A est ferm ?e dans X Dans cette question on prend X d ? ? ou ? xn ? R xn ? d ef sup xn ? n ??N Pour n ?? N on note en ?? ? la suite en On considere l ? ensemble A ? ? d ?e ?ni par n A n en n ?? N a Montrer que A est ferm ?e et born ?e dans ? ? on pourra se servir du r ?esultat de la question pr ?ec ?edente b Etablir si le diam etre de A est r ?ealis ?e Etablir si A est compact T S V P CExercice On d ?esigne par E C R l ? espace des applications continues de dans R muni de la norme f ? supx ?? f x Pour f ?? E on pose T f x xesxf s ds x ?? Montrer que l ? application x ? T f x est lipschitzienne dans Conclure que T t ?? E Montrer que T E ? E est une contraction et en d ?eduire qu ? il y a une et une seule fonction f ? ?? E telle que xesxf ? s ds f ? x ?? ?? x ?? Trouver une constante R telle que f ? ? ? R Exercice Soit E un espace vectoriel norm ?e E Soit R ? R Montrer que l ? application f E ? R d ?e ?nie par f x x est uniform ?ement continue si et seulement si est uniform ?emement continue dans R Pour quelles valeurs de ?? R ? l ? application f E ? R d ?e ?nie par f x x est-elle uniform ?ement continue CCorrig ?e de l ? examen de Topologie du juin Question de cours Soit X d un espace m ?etrique compact Soit xn ? X une suite de Cauchy Alors ?? ?? n ?? N tel que si n m ? n on a d xn xm On applique