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ESPACE ET GÉOMÉTRIE 1 Premiers éléments de géométrie Connaissances et compétenc

ESPACE ET GÉOMÉTRIE 1 Premiers éléments de géométrie Connaissances et compétences abordées § Vocabulaire et tracé à la règle non graduée de droites, seg- ments de droites, demi-droites. § Alignement, intersection, appartenance. ACTIVITÉ 1 Faisceaux de traits Une conﬁguration de droites sécantes est donnée ainsi que le début de la reproduction de cette conﬁguration par certains points d’intersection, il s’agit de terminer la reproduction. Objectifs : employer des relations d’incidence comme l’appartenance d’un point à un ou deux segments ou droites, intersection, alignement, mise en place d’une chronologie de tracé. Phases : 1) ‚ Sur la ﬁche annexe FAISCEAUX DE TRAITS (1), reproduire la ﬁgure donnée à l’aide des points d’intersection déjà placés. Tous les outils et matériels sont autorisés. ‚ Correction et discussion sur les différentes procédures adoptées, vocabulaire : point, droite, intersection, segment. 2) ‚ Sur la ﬁche annexe FAISCEAUX DE TRAITS (2), reproduire la ﬁgure projetée au tableau à l’aide des points d’intersection déjà placés. Tous les outils et matériels sont autorisés. ‚ Correction et discussion sur les différentes procédures adoptées. 3) Différences entre les deux activités. Source : Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3, Ermel, Hatier 2006. DÉBAT 2 Les déﬁnition d’Euclide La mathématicien grec Euclide, considéré comme le père de la géométrie, déﬁnit les objets géométriques au 3e siècle av. J.-C. Son 1er livre comprend notamment les déﬁnitions suivantes : ‚ le point est ce dont la partie est nulle; ‚ une ligne est une longueur sans largeur; ‚ la ligne droite est celle qui est également placée entre ses points. 1 Trace écrite 1. Droites, demi-droites, segments DÉFINITION : Vocabulaire et notations Une droite est une ligne rectiligne inﬁnie. On peut noter une droite de différentes façons : + A + B droite pABq pdq droite pdq + T u droite pTuq Une demi-droite est une portion de droite limitée d’un seul côté par un point appelé origine. La demi-droite d’origine A passant par B se note rABq. A + B Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés extrémités. Le seg- ment d’extrémités A et B se note rABs ou rBAs. A B Exemple + A + B + C ‚ pABq est une droite; ‚ rACq est la demi-droite d’origine A pas- sant par C ; ‚ rCBs est le segment d’extrémités C et B . 2. Points particuliers DÉFINITION : Points alignés et appartenance Trois points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite. + A + B + C les points A, B, C sont alignés. NOTATION : le symbole P signiﬁe « appartient à » et R signiﬁe « n’appartient pas à ». Exemple On a par exemple C P pABq et B P pACq mais A R rCBq et B R rACs. DÉFINITION : Point d’intersection et droites sécantes Deux droites sont sécantes lorsqu’elles se coupent en un point appelé point d’intersection. Exemple pdq pd1q S les droites pdq et pd1q sont sécantes en S. 2 6ème - Chapitre 1: Premiers éléments de géométrie N. DAVAL Entraînement Droites, demi-droites, segments 1 Traduis en écriture mathématique puis illustre avec une ﬁgure les expressions suivantes. 1) Le segment qui a pour extrémités A et B. 2) La droite passant par A et B. 3) La demi-droite d’origine A passant par B. 2 Traduis par une phrase en français les expressions mathématiques suivantes. 1) rOBq. 2) rMNs. 3) pACq. 3 Repasse en rouge la partie de la droite correspon- dant aux écritures mathématiques. 1) + A + B + C + D + E rACq 2) + D + R + O + I t rIRs 3) + A + U + C + H + E g pgHs 4) + F + I + N a b pINq 4 Nomme la partie de la droite qui a été repassée en gras de deux manières différentes. 1) + A + B + C + D + E 2) + D + R + O + I t 3) + A + U + C + H + E g 4) + F + I + N a b 5 Sur la ﬁgure de la colonne suivante, repasse : 1) en bleu, rABs; 2) en rouge, pBvq; 3) en vert, pxyq; 4) en noir, rAtq. B A C z u x t v y 6 Réalise la ﬁgure suivante : Place 4 points A, B, C et D non alignés. Trace en bleu la droite (AB), en rouge la demi-droite d’origine A passant par C et en vert le segment d’extrémités C et D. 7 On considère la droite suivante : + A + B + C + D 1) Écris tous les noms possibles pour cette droite. 2) Combien y aurait-il de noms en plus si on avait placé cinq points sur la droite? 3) Combien faut-il de points pour que la droite ait six noms possibles? Points particuliers 8 Complète les phrases à l’aide de la ﬁgure. A B C D E F pd1q pd2q pd3q pd4q 1) Les droites pd1q et pd2q se coupent en . . . . . . . . . . . . . . . 2) Le point d’intersection de pd1q et pd3q est . . . . . . . . . . . 3) C est le point d’intersection de . . . . . . . . . et . . . . . . . . . 4) Le point B est à l’intersection de . . . . . . . . et . . . . . . . . 5) D est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N. DAVAL 6ème - Chapitre 1: Premiers éléments de géométrie 3 Entraînement 9 Complète la ﬁgure ou la consigne à l’aide des phrases ci-dessous. pd1q pd2q pd3q pd4q 1) A est le point d’intersection de pd2q et pd4q. 2) pd1q et pd3q se coupent en T. 3) Le point d’intersection de pd3q et pd4q est H. 4) M est à l’intersection de pd4q et de pd1q. 5) Le seul point d’intersection qui n’est pas nommé est celui de . . . . . . . . . et . . . . . . . . . 10 Réalise la ﬁgure suivante : Le point Y appartient à p∆q et à pΓ); p∆q et pΦq se coupent en Z ; pΨq et p∆q se coupent en K ; le point L est sur pΨq, sur pΦq, et sur pΓq. 11 Complète avec P ou R. + O + U + F 1) O . . . . . . rUFs. 5) U . . . . . . rOFq. 2) O . . . . . . rUFq. 6) F . . . . . . pOUq. 3) O . . . . . . pUFq. 7) F . . . . . . rUOq. 4) U . . . . . . rFOq. 8) U . . . . . . rUFq. 12 Vrai (V) ou faux (F)? 1) Si C P pABq alors A P pBCq. 2) Si E P rDFs alors D P rEFs. 3) Si C P rABq mais C R rABs alors A P rCBq. 4) Si C P rBAq mais C R rABs alors B P rACq. 5) Si C P rBAq et D P rACq alors B P rDAq. 13 Complète avec P ou R. + Q + X + M + O + L + Z + V 1) X . . . . . . pQMq. 6) Q . . . . . . rZOs. 2) X . . . . . . rQMs. 7) O . . . . . . rLXs. 3) Q . . . . . . rXMs. 8) L . . . . . . rXOs. 4) X . . . . . . rQMq. 9) L . . . . . . rXOq. 5) Q . . . . . . pOZq. 10)V . . . . . . pOMq. 14 En t’aidant des points déjà marqués, place les points H, I, L et M. + A + B + C + D + E 1) H P rABq et H P rEDs. 2) I P rCBq et I P rEDs. 3) L P rBDs et L P rCHs. 4) M P rAIq et M P rDHq. Source : Les cahiers Sesamath 6e. Magnard-Sésamath 2017. 4 6ème - Chapitre 1: Premiers éléments de géométrie N. DAVAL Récréation, énigmes Construction d’un abaque romain à nombres entiers sur une feuille entière en mode paysage format A4. classe des unités I X C classe des milliers I X C classe des millions I X C milliards I 3 cm 1 cm N. DAVAL 6ème - Chapitre 1: Premiers éléments de uploads/S4/ 6-ch1-objets-geometrie.pdf