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Année : 2020-2021 Séries: A1 et B Durée : 3 heures Coef : 4 RÉPUBLIQUE GABONAIS

Année : 2020-2021 Séries: A1 et B Durée : 3 heures Coef : 4 RÉPUBLIQUE GABONAISE LYCEE AHMED KHADIM OYABI Département de Mathématique Baccalauréat blanc : Mathématique Aucun document n'est autorisé et aucune communication entre candidats n'est permise. Exercice 1. Q.C.M : (5 POINTS) Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justi cation n'est demandée, le fait d'oublier de mentionner une de ces réponses constitue une erreur. Questions Réponses Soit la fonction dé nie par : P(x) = 3 4x2 −3 8x + 3 72 1. Le discriminant de P est égal à: □−1 36 □ 1 36 □36 2. Les racines de P sont données par : □ 1 6 et 1 4 □ 1 6 et 1 5 □ 1 6 et 1 3 3. La forme factorisée de P est : □ 3 4(x −1 6)(x −1 4) □ 3 4(x −1 6)(x −1 5) □ 3 4(x −1 6)(x −1 3) Soit la fonction dé nie par : g(x) = 2ex + 1 3ln(x2), avec Dg =]0, +∞[ 4. La dérivée de g est donnée par: □g ′(x) = 2ex + 2 3x □g ′(x) = 2ex + 1 x □g ′(x) = ex + 1 2x 5. (Un) est une suite arithmétique de premier terme -1 et de raison 3: □Un = −4 + 3n □Un = −1 + 3n □Un = −n + 3 Exercice 2. DENOMBREMENT : (5 POINTS) Une caisse contient 6 tee-shirts bleus et 4 tee-shirts rouges. 1. Un non-voyant tire au hasard et simultanément trois tee-shirts de la caisse qu'il donne à trois de ses amis non-voyants. Calculer le nombre de possibilités des événements suivants: 1. A : ≪Les 3 tee-shirts sont rouges ≫ 2. B : ≪Au moins un des tee-shirts tirés est rouge ≫ 3. C : ≪Le non-voyant a tiré plus de tee-shirts bleu que de tee-shirts rouges ≫ 1 2. Cette fois ci, le non-voyant procède à un tirage successif avec remise de 3 tee-shirts de la caisse. Calculer le nombre de possibilités de chacun des événements suivants: 1. D : ≪Le premier et le dernier tee-shirt tirés sont bleus ≫ 2. E : ≪il n'a tiré aucun tee-shirt bleu ≫. Exercice 3. PROBLEME : (10 POINTS) Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction dé nie sur ]0; +∞[ par : g(x) = 2x2 −4 ln(x) + 4. a. Calculer g ′(x) où g ′ est la dérivée de la fonction g et montrer que, pour tout nombre réel x strictement positif, g ′(x) = 4x2 −4 x . b. Étudier le sens de variation de la fonction g sur ]0; +∞[, puis dresser son tableau de variation (le calcul des limites n'est pas demandé). c. Déterminer le signe de la fonction g sur l'intervalle ]0; +∞[ suivant les valeurs de x. Partie B : Étude de fonction f Soit la fonction f dé nie sur ]0; +∞[ par : : f(x) = 2x −3 + 4ln(x) x . On note (Cf) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormée (O, I, J) d'unité graphique 1cm. a. Déterminer la limites de f en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. b. Étude en +∞ 1. Déterminer la limite de f en +∞ 2. Démontrer que la droite (D) d'équation y = 2x −3 est une asymptote oblique à la courbe (Cf) en +∞. 3. Étudier la position relative de la courbe (Cf) par rapport à la droite (D). 4. Déterminer les coordonnées du point A, communs à la droite (D) et à la courbe (Cf). c. Étude des variations de f. 2 1. Déterminer la fonction dérivée f ′ de la fonction f et véri er que, f ′(x) = g(x) x2 où g est la fonction étudiée dans la partie A. 2. Déduire le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation. 3. Montrer que, l'équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans l'intervalle [1; 2]. 4. Pour quelle valeur de x la courbe (Cf) admet-elle une tangente parallèle à (D)? 5. Tracer la courbe (Cf) et la droite (D) dans le repère (O, I, J). 3 uploads/S4/ bac-2.pdf