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Dernière modification il y a 29 jou… Conditions d’utilisation • PAGES ASSOCIÉES

Dernière modification il y a 29 jou… Conditions d’utilisation • PAGES ASSOCIÉES Le contenu est disponible sous licence CC BY-SA 3.0 sauf mention contraire. Politique de confidentialité • Version de bureau … Reche Limite (mathématiques) Valeur (si elle existe) dont s'approche l'image par une fonction d'une variable lorsque cette variable s'approche d'un élément … … … Pour les articles homonymes, voir Limite. Ne pas confondre avec la notion de limite en théorie des catégories En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini, ou d'une fonction lorsque la variable se rapproche d’un point (éventuellement infini) au bord du domaine de définition. Si une telle limite existe dans l’ensemble d’arrivée, on dit que la suite ou la fonction est convergente (au point étudié). Si ce n’est pas le cas, elle est divergente, comme dans le cas de suites et fonctions périodiques non constantes (telle la fonction sinus en +∞). Sous condition d’existence, le calcul des limites est simplifié par la compatibilité avec les opérations arithmétiques élémentaires, mais plusieurs formes indéterminées font obstacle à cette technique calculatoire. La comparaison de croissance permet de lever bien souvent ces indéterminations. La détermination d’une limite peut être raffinée par l’expression d’un équivalent (notamment dans le cas d’une limite nulle ou infinie), d’asymptotes obliques ou de branches paraboliques, voire de développement limité ou asymptotique. La limite d’une fonction en un point appartenant à son domaine de définition est liée à la caractérisation de sa continuité. Ce constat permet d’exprimer plus généralement la limite dans un cadre topologique à l’aide de la notion de voisinage. Elle peut même s’étendre hors de ce cadre avec la notion de filtre. Pour une fonction d’une variable à valeurs vectorielles, et notamment une courbe intégrale d’un champ de vecteurs (par exemple associé à l’espace des phases pour une équation différentielle ordinaire du second ordre), l’absence de limite est parfois compensée par l’existence d’un cycle limite. La notion de limite de fonction ressemble à celle de la limite d’une suite, à ceci près que la variable de la fonction peut tendre vers n’importe quelle valeur de son domaine de définition ou à la frontière de celui-ci. Ainsi, pour une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ ⊂ R, on peut étudier les éventuelles limites de la fonction en tout réel c de l’intervalle, mais aussi aux bornes a et b, que ces bornes soient finies ou infinies. Limite finie en une valeur finie Définition Pour une fonction réelle ou complexe d’une variable réelle ou complexe, la formulation d’une limite finie en une valeur finie est semblable à celle de la limite d’une suite[2] : Cette définition moderne, cohérente avec la définition topologique générale (voir infra) et désormais en vigueur en France[3], supplante la définition historique de Weierstrass, appelée aussi « limite épointée » ou « limite par valeurs différentes »[4], enseignée encore parfois dans les universités françaises et dans d’autres pays[5] : Lorsque la fonction f est définie en un réel a, si elle admet une limite en a alors cette limite est nécessairement[6],[7] égale à f(a). Plus précisément, la fonction admet une limite finie en un point a de son domaine de définition si et seulement si elle est continue en a. Cette condition peut aussi s’exprimer par l’égalité avec la limite épointée : Application La définition de cette limite est particulièrement utile pour déterminer le nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement. Limite à gauche ou à droite Les limites aux bornes du domaine de la fonction inverse : , , Pour une fonction f d’une variable réelle x, lorsque x se rapproche d’un réel a, il se peut que les valeurs f(x) soient très contrastées selon que la variable x soit inférieure ou supérieure à a, comme dans le cas particulier de la fonction inverse en 0, où l’on ne peut définir de limite cohérente. Dans ce cas, on peut définir une limite à gauche et une limite à droite éventuellement différentes. La limite d’une fonction f à gauche en un réel a s’écrit ou , voire f(a−) ou fg(a). Sa limite à droite en a s’écrit ou , voire f(a+) ou fd(a). Pour une fonction définie au voisinage à gauche et à droite d’un réel a, l’existence et l’égalité des limites à gauche et à droite est équivalente à l’existence d’une limite épointée (avec la même valeur). Expression générale Afin d’unifier les différentes formulations de limites, on recourt à la notion de voisinage, qui s’applique à tout réel (éventuellement à droite ou à gauche) et à l’infini (en +∞ ou en −∞). On utilise aussi la notation R = R ∪ {−∞, +∞} de la droite réelle achevée. Soit f une fonction définie au voisinage[8] (éventuellement à gauche ou à droite) de a ∈ R et soit L ∈ R. On dit que la fonction f admet la limite L en a si pour tout voisinage V de L, il existe un voisinage U (à gauche ou à droite) de a tel que f(U) ⊂ V. On démontre que le réel L de la définition, lorsqu'il existe, est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note : Critère séquentiel de la limite de fonction Exemples La limite de x ↦ 1/x en l'infini est égale à 0 : La limite de x ↦ 1/x en 0 n'existe pas. La limite à droite est +∞ : La limite de x ↦ x2 en 3 est égale à 9 (dans ce cas la fonction est définie et continue en ce point et la valeur de la fonction est égale à la limite) : La limite de x ↦ xx en 0 est égale à 1 : La limite de x ↦ ((a + x)2 – a2)/x en 0 est égale à 2a : La limite à droite de x ↦ |x|/x en 0 est égale à 1 et la limite à gauche est égale à –1 : La limite de x ↦ x sin(1/x) en +∞ est égale à 1 : La limite de x ↦ (cos(x) – 1)/x en 0 est égale à 0 : Article détaillé : Opérations sur les limites. Limite et opérations algébriques (La dernière propriété suppose que L2 n'est pas nulle.) Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes : q + ∞ = ∞ pour q ≠ –∞ ; q × ∞ = ∞ si q > 0 ; q × ∞ = –∞ si q < 0 ; q / ∞ = 0 si q ≠ ±∞. (Voir l'article « Droite réelle achevée ».) Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme 0/0, 0×∞, ∞ – ∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles. Limite et relation d'ordre Indétermination Article détaillé : Forme indéterminée. Il existe certaines formes de limite où il est n'est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes dites « indéterminées » : 0/0 ; ∞/∞ ; ∞ – ∞ ; 0 × ±∞ ; 00 ; +∞0 ; 1±∞. . . La fonction f admet la limite L en a si et seulement si pour tout suite dans de limite a, la suite f(xn) a pour limite L. Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques : Si alors Si une fonction f est positive ou nulle au voisinage de p, et si la limite de f en p existe, cette limite sera positive ou nulle. Si une fonction f est strictement positive au voisinage de p, et si la limite de f en p existe, cette limite sera positive ou nulle, mais on ne peut pas garantir que cette limite soit strictement positive. Si la limite de f en p est strictement positive (resp. négative) alors il existe un voisinage de p (épointé dans le cas de la limite épointée) dans lequel la fonction f est strictement positive (resp. négative). Par conséquent, si la limite de f en p est non nulle, il existe un voisinage de p (épointé dans le cas de la limite épointée) dans lequel la fonction ne s'annule pas. Si deux fonctions sont rangées dans un certain ordre au voisinage de p et si ces deux fonctions admettent des limites en p, ces limites sont rangées dans le même ordre que les fonctions. Théorème des gendarmes. Limite de suite Limite de fonction … … … … … … … Propriétés … … … … Espaces métriques Notes et références Voir aussi Suite dont les termes se rapprochent à … Suite de Cauchy mode de convergence d'une suite de fo… Convergence uniforme Notions de convergence en loi et de con… Convergence de variables aléatoires uploads/S4/ limite-mathematiques-wikipedia.pdf