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Modèle de copie Open office Writer Références du devoir Matière : Mathématique

Modèle de copie Open office Writer Références du devoir Matière : Mathématique Code de la matière : 07MA02 N° du devoir : 4 (tel qu’il figure dans le fascicule devoirs) Pour les devoirs de langues étrangères, précisez LV1, LV2 ou LV3 : Vos coordonnées Indicatif : 2049006724 Nom : Nguyen Goument Prénom : Nathan Ville de résidence : Dammartin-En-Goële Pays (si vous ne résidez pas en France) : France Double-cliquez dans les zones bleues pour saisir les différentes informations demandées puis commencez à saisir votre devoir en page 2. Nom du professeur correcteur : NOTE : Observations générales du correcteur : 1 Votre texte passera automatiquement à la ligne suivante à ce niveau pour laisser une marge au correcteur Commencez à saisir votre devoir ci-dessous : Exercice 1: 1) Exercice 2: Partie A 1) lim ex = +∞ x→+∞ lim x + 1 = +∞ x→+∞ lim g(x) = +∞ x→+∞ lim ex = 0 x→-∞ lim x + 1 = -∞ x→-∞ lim g(x) = -∞ x→-∞ 2) On détermine le signe de g'(x) pour avoir les variations de g(x). 2 Modèle de copie Open office Writer 3) La fonction g est continue et strictement croissante sur ℝ et limite de g(x) quand x tend vers -∞ est -∞ et la limite de g(x) quand x tend vers +∞ est +∞. D'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution pour g(x) = 0. D'après la calculatrice : g(-1,28) = -0,002 g(-1,27) = 0,011 -1,28 < < -1,27 ⍺ 4) D'après le tableau de variation de g en déduit son tableau de signe : Partie B 1) lim xex = 0 par croissance comparé x→-∞ lim ex + 1 = 1 par somme x→-∞ lim h(x) = 0 par quotient x→-∞ On peut en déduire que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe représentative de h en -∞. lim xex = +∞ par produit x→+∞ lim ex + 1 = +∞ par somme x→+∞ FI on factorise donc par le terme prépondérant. h(x) = xex/ex(1+1/ex) lim 1/ex = 0 par par quotient x→+∞ lim 1 + 1/ex = 1 par somme x→+∞ h(x) = x/ 1+1/ex lim h(x) = +∞ par quotient x→+∞ 2) u = xex u' = ex + xex v = ex + 1 3 Modèle de copie Open office Writer v' = ex h(x) = u/v h'(x) = (u'v – v'u)/v² h'(x) = [(ex+1)(ex + xex) – ex(xex)] / (ex + 1)² = (e2x+xe2x +ex + xex – xe2x) / (ex + 1)² = (e2x+ ex + xex) / (ex + 1)² = (ex(ex + x + 1)) / (ex + 1)² = (ex * g(x)) / (ex + 1)² La fonction exponentielle et la fonction carré étant toujours positive h'(x) a bien le même signe que g(x). 3) (α e ⇔ α )/(eα + 1) - (α + 1) (αe ⇔ α )/(eα + 1) - [(α + 1)(eα + 1) / (eα + 1)] (α e ⇔ α )/(eα + 1) - [(αeα + α + eα + 1) / (eα + 1)] (α e ⇔ α )/(eα + 1) - (αeα + g(α)) / (eα + 1) g(α) / (e ⇔ α + 1) g(α) étant égal à 0; (α eα )/(eα + 1) - (α + 1) = 0 donc h(α) = α + 1 donc -0,28 < h( ) < -0,27 ⍺ h'(x) ayant le même signe que g(x), on peut donc tracer son tableau de signe puis le tableau de variation de h(x). Partie C 1) h0(0) = 0² + 0/2 = 0 h0(x) – h0(-) = x² + x/2 - ((-x)² + -x/2) h0(x) – h0(-) = x² + x/2 - (-x)² + x/2 4 Modèle de copie Open office Writer h0(x) – h0(-) = x h0 vérifie donc bien les conditions (C). 2)h(0) = 0e0/(e0+1) = 0 h(x) – h(-x) = xex/(ex+1) - (-xe-x/(e-x+1)) h(x) – h(-x) = ((e-x+1)xex+(ex+1)xe+x)/[(ex+1)(e-x+1)] h(x) – h(-x) = (x((e-x+1)ex+(ex+1)e+x))/[(ex+1)(e-x+1)] h(x) – h(-x) = (x(ex+1+e+x+1))/[(ex+1)(e-x+1)] h(x) – h(-x) = (x(ex+1+e+x+1))/(ex+1+e+x+1) h(x) – h(-x) = x Les conditions (C) sont vérifié pour h. 3) a. f(x) – f(-x) = x donc g(x) = x donc g'(x) = f'(x) + f'(-x) et g'(x) = 1 b. d'une part g'(x) = 1 d'aute part g'(x) = f'(x) + f'(-x) 1 = f'(0) + f'(-0) = 2f'(x) donc 0,5 = f'(x) c. f(x) – f(-x) = x pour tout x x + f(-x) = x Or f(x) ≥ -1 donc f(-x) ≥ -1 ainsi f(x) ≥ x – 1 Or la limite de x – 1 = +∞ par comparaison la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est +∞. d. f'(0) = ½ donc le coefficient directeur de la tangeante à la courbe C en 0 est de ½. Soit a coefficient directeur de la droite MM'. a = (y(M) – y(M')) / (x(M) – x(M')) a = (f(x) – f(-x)) / (x - (-x)) a = x/2x a = ½ Les deux coefficients étant égaux les deux droites sont parallèles. Exercice 3 1) un = exp(0²/n) + exp(1²/n) + exp(2²/n) + … + exp(n²/n) un ≥ (1 + 0²/n) + (1 + 1²/n) + (1 + 2²/n) + … + (1 + n²/n) un ≥ (1 + n²/n) donc : un ≥ n + 1 lim n+1 = +∞ n→+∞ Or un ≥ n+1 Donc lim un = +∞ par comparaison. N→+∞ 2) vn ≥ ((1 + 0²/n) + (1 + 1²/n) + (1 + 2²/n) + … + (1 + n²/n))/n vn ≥(n + 1 + 1²/n + 2²/n + … + n²/n)/n vn ≥1 + 1/n + 1²/n² + 2²/n² + … + n²/n² vn ≥ 1 + 1/n + (1/n²)(1² + 2² + … + n²) Donc : 5 Modèle de copie Open office Writer vn ≥ (1/n²)(1² + 2² + … + n²) Puis : vn ≥ (1/n²)((n(n+1)(2n+1))/6) vn ≥ ((n+1)(2n+1))/6n ≥ (2n+1)/6 Car (n+1)/n ≥ 1 vn ≥ (2n+1)/6 3) a. La valeur affiché u est : exp(1/3) + exp(4/3) + exp(3) La valeur approché de u à 10-3 est 25.275 b. u ← 0 v ← 0 Pour i variant de 0 à n u ← u + exp(i²/n) Fin pour v ← u/n Afficher v 4) a. Pour n = 3000; (n(n+1)(2n+1))/6 = 3000*3001*6001/6 = 9004500500 1/n²(1²+2²+...+n²) = 1000,5 Or vn ≥ 1/n²(1²+2²+...+n²) Donc vn ≥ 1000,5 b. On sait que vn ≥ (2n+1)/6 Donc (2n+1)/6 ≥ 103 2n+1 ≥ 6000 2n ≥ 5999 n ≥ 2999,5 A partir de n0 = 3000 vn ≥ 103. 6 uploads/S4/ nathan-nguyen-07ma02-dev4.pdf