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Le Schéma de Horner. Le schéma de Horner permet de factoriser des polynomes. Il

Le Schéma de Horner. Le schéma de Horner permet de factoriser des polynomes. Il utilise à peu près le même système que la division Euclidienne mais le traite sous forme de tableau. Je vais expliquer le schéma de Horner en expliquant un exemple: Le polynome à factoriser est: x3 + 9x² + 11x -21 1° Nous allons rechercher les valeur de x qui annulent la fonction F(x) = x3 + 9x² + 11x -21. Il faudra donc chercher pour toutes les valeurs. C'est pour cette raison que si la valeur de x correspondante n'est ni ±1, ±2, ±3, elle sera normalement donnée dans l'hypothèse. Classons donc ce polynome dans un tableau: Notons qu'il faut toujours commencer avec les x0 à droite, et écrire de droite à gauche pour obtenir l'en-tête comme ci-dessus. Bien sur, s'il y avait eu des x4, il aurait fallu ajouter une colonne à gauche. 2° Nous allons chercher pour quelles valeur de x le reste du polynome est égal 0: F(1) = 1³ + 9•1² + 11•1 - 21 = 0 ===> Donc on pourra prendre la valeur x = 1 donc on divisera par (x-1). Voici donc cette division par le schéma de Horner: Explications: Le 1 tout à gauche est dû au fait que F(1) = 0. Dans la ligne des résultats, le 1 de gauche est le coefficient des x³. On abaisse toujours le coefficient du x ayant la plus grande puissance. Puis on multiplie ce premier résultat, 1, par le 1 qu'on utilise pour diviser, ce qui nous donne le 1 rouge. On additionne les coefficients des x², ce qui nous donne 9 + 1 = 10. Puis on multiplie ce deuxième résultat par le 1 tout à gauche, comme avant. Ce qui nous donne 11 + 10 = 21. On refait la même chose. Donc 1 • 21 = 21, ce qui nous donne le 21 rouge. Puis l'addition nous donne: -21 + 21 = 0. Ce 0 est tout-à-fait logique puisque nous avons choisi x tel que F(x) = 0, pour qu'il n'y ait pas de reste. Il nous reste donc 1, 10, 21. Il faut à nouveau partir de la droite pour les x, ce qui nous donnera 1x² + 10x + 21, qui est le résultat de notre division. 3° On refait l'étape 2° en cherchant une autre valeur. Donc: F(2) = 8 + 36 + 22 – 21 / 0 F(-2) = -8 + 36 – 22 – 21 / 0 F(3) = 27 + 81 + 33 – 21 / 0 X² 1 9 11 -21 1 1 10 21 1 10 21 0 X3 X1 X0 X² 1 9 11 -21 X3 X1 X0 F(-3) = -27 + 81 – 33 – 21 = 0 Nous allons donc continuer le tableau précédent, en utilisant cette fois-ci -3: Le calcul a été fait exactement comme à l'étape 2°. On peut constater que le reste (à droite de la double barre) est à nouveau égal à 0. Ce qui est prévu en le choisissant tel que F(x) soit égal à 0 ! Cette fois-ci, toujurs en mettant les puissances de x de droite à gauche, le résultat de notre division est : 1x + 7 4° En regardant notre tableau de plus près, on peut remarquer que nous avons tout d'abord divisé par 1, puis par -3. Ce 1 et ce -3 représentant donc la valeur de x. Pour l'annuler, il faut y ajouter la valeur inverse: ce qui nous donne: (x – 1) et (x + 3). En ce qui concerne le dernier résultat, (x + 7), on le laisse tel quel. Nous avons donc divisé notre polynome de départ, x3 + 9x² + 11x -21, par (x – 1), puis par (x + 3), pour arriver au résultat: (x + 7). Nous pouvons donc en conclure que (x – 1)(x + 3)(x + 7) = x3 + 9x² + 11x -21... 5° Nous avons donc factorisé notre polynome de départ. X² 1 9 11 -21 1 1 10 21 1 10 21 0 -3 -3 -21 1 7 0 X3 X1 X0 uploads/S4/ schema-de-horner.pdf