Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

´ Ecole Normale Sup´ erieure 1` ere ann´ ee Ann´ ee 2015-2016 Alg` ebre 1 TD1 :

´ Ecole Normale Sup´ erieure 1` ere ann´ ee Ann´ ee 2015-2016 Alg` ebre 1 TD1 : G´ en´ eralit´ es sur les groupes Exercices ⋆: ` a pr´ eparer ` a la maison avant le TD, seront corrig´ es en d´ ebut de TD. Exercices ⋆⋆: seront trait´ es en classe en priorit´ e. Exercices ⋆⋆⋆: plus diﬃciles. Exercice 1 : ⋆ Soit E un ensemble muni d’une loi de composition, associative, avec ´ el´ ement neutre e, et telle que tout ´ el´ ement de E poss` ede un inverse ` a gauche. Montrer que tout ´ el´ ement de E poss` ede un inverse ` a droite qui co¨ ıncide avec son inverse ` a gauche. En d´ eduire que E est un groupe. Solution de l’exercice 1. Soit g ∈E. Par hypoth` ese, il existe h ∈E tel que h · g = e. De mˆ eme, il existe k ∈E tel que k ·h = e. L’associativit´ e assure alors que g = (k ·h)·g = k ·(h·g) = k, donc g · h = e, donc h est aussi inverse ` a droite de g. Par cons´ equent, tout ´ el´ ement de E admet un inverse (` a droite et ` a gauche), donc E est un groupe. Exercice 2 : ⋆ Soit G un groupe tel que g2 = e pour tout g ∈G. Montrer que G est ab´ elien. Solution de l’exercice 2. Pour tous g, h ∈G, on a (g · h)2 = e, i.e. g · h · g · h = e, donc en multipliant ` a droite par h · g, on a g · h = h · g, i.e. G est commutatif. Exercice 3 : ⋆ Soit G un groupe et soit H un sous-ensemble ﬁni non vide de G stable pour la loi de composition du groupe G. a) Montrer que H est un sous-groupe de G. b) Trouver un exemple d’un groupe G et d’un sous-ensemble non vide de G stable pour la loi de composition du groupe G qui ne soit pas un sous-groupe de G. Solution de l’exercice 3. a) Soit h ∈H. Comme H est ﬁni et hn ∈H pour tout n ∈N, il existe deux entiers n > m ≥0 tels que hn = hm. Or h admet un inverse dans G, donc on en d´ eduit l’´ egalit´ e suivante de G : hn−m = e. Or H est stable par multiplication, donc e ∈H et h−1 = hn−m−1 ∈H, donc H est stable par inverse. Cela assure que H est un sous-groupe de G. b) On peut prendre G = (Z, +) et H = N. Exercice 4 : ⋆ Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G d’indice 2. Montrer que H est distingu´ e dans G. Solution de l’exercice 4. Les classes ` a gauche de G modulo H sont {H, G\H}. Donc les classes ` a droite de G modulo H sont {H, G \ H}. Si g / ∈H, on a donc g · H = G \ H = H · g, ce qui assure le r´ esultat. Exercice 5 : Soit G un groupe ﬁni. a) Montrer que des ´ el´ ements conjugu´ es dans G sont de mˆ eme ordre. b) Deux ´ el´ ements de mˆ eme ordre dans G sont-ils toujours conjugu´ es ? c) Trouver tous les groupes ab´ eliens ﬁnis G pour lesquels la question pr´ ec´ edente a une r´ eponse positive. Un exemple non ab´ elien ? Solution de l’exercice 5. 1 a) Si g, h ∈G et n ∈N, on a (h · g · h−1)n = h · gn · h−1, donc (h · g · h−1)n = e si et seulement si gn = e, ce qui assure le r´ esultat. b) Non. Par exemple, dans le groupe commutatif G = Z/3Z, on a deux ´ el´ ements d’ordre 3 qui ne sont pas conjugu´ es. c) Dans un groupe ab´ elien ﬁni, les classes de conjugaison sont r´ eduites ` a un ´ el´ ement. Donc la question pr´ ec´ edente a une r´ eponse positive dans un groupe ab´ elien ﬁni G si et seulement si tous les ´ el´ ements de G ont des ordres distincts. Or si un groupe admet un ´ el´ ement g d’ordre n ≥3, alors il admet d’autres ´ el´ ements d’ordre n, par exemple g−1. Donc les seuls groupes ab´ eliens convenables sont le groupe trivial et le groupe Z/2Z. Si G = S3, alors les ´ el´ ements d’ordre 2 dans G sont les transpositions (12), (13), (23) qui sont bien conjugu´ ees, et les ´ el´ ements d’ordre 3 sont les 3-cycles (123) et (132), qui sont ´ egalement conjugu´ es. Donc G est un exemple de groupe non ab´ elien convenable. Exercice 6 : Soit f : G1 →G2 un morphisme de groupes et soit x un ´ el´ ement de G1 d’ordre ﬁni. Montrer que l’ordre de f(x) divise l’ordre de x. Solution de l’exercice 6. On note n l’ordre de x. On a xn = e, donc f(x)n = f(xn) = e, donc l’ordre de f(x) divise n. Exercice 7 : ⋆ Montrer qu’il n’existe pas de morphisme de groupes surjectif de (Q, +) dans (Q∗ +, ×). Solution de l’exercice 7. Soit φ : (Q, +) →(Q∗ +, ×) un morphisme surjectif. Alors 2 ∈Q∗ + admet un ant´ ec´ edent x par ϕ. Alors y := x 2 ∈Q v´ eriﬁe que 2y = x, donc ϕ(y)2 = ϕ(x) = 2. Par cons´ equent, on a construit un rationnel ϕ(y) ∈Q∗ + tel que ϕ(y)2 = 2, ce qui contredit l’irrationnalit´ e de √ 2. Exercice 8 : Donner la liste de tous les groupes (` a isomorphisme pr` es) de cardinal inf´ erieur ou ´ egal ` a 7. Solution de l’exercice 8. – le seul groupe de cardinal 1 est le groupe trivial. – si p est un nombre premier et si G est de cardinal p, alors tout ´ el´ ement g ∈G distinct de l’´ el´ ement neutre est d’ordre p, ce qui assure que G est isomorphe ` a Z/pZ. Il y a donc un unique groupe de cardinal p (qui est Z/pZ) pour p = 2, 3, 5, 7. – Soit G un groupe d’ordre 4. Si G admet un ´ el´ ement d’ordre 4, G est isomorphe ` a Z/4Z. Sinon, tous ses ´ el´ ements sont d’ordre 1 ou 2. Donc G est ab´ elien, et le choix de deux ´ el´ ements distincts (non neutres) g et h de G fournit un isomorphisme entre G et Z/2Z×Z/2Z. Il y a donc exactement deux groupes d’ordre 4. – Soit G un groupe d’ordre 6. Si G est commutatif, G admet n´ ecessairement un ´ el´ ement d’ordre 2 et un ´ el´ ement d’ordre 3 (sinon tous les ´ el´ ements de G sont d’ordre divisant 2, auquel cas G contient Z/2Z × Z/2Z, ce qui n’est pas possible, ou tous les ´ el´ el´ ements de G sont d’ordre divisant 3, auquel cas G contient Z/3Z × Z/3Z, ce qui n’est pas possible non plus). Alors le produit de ces deux ´ el´ ements est d’ordre 6, ce qui assure que G est isomorphe ` a Z/6Z. Si G n’est pas commutatif : alors G contient un ´ el´ ement d’ordre 3, not´ e a, et aussi un ´ el´ ement b d’ordre 2 (sinon on montre que G aurait au moins 7 ´ el´ ements). N´ ecessairement, a et b ne commutent pas, et ils engendrent G. Les ´ el´ ements de G sont donc e, a, a2, b, a · b, b · a. Donc n´ essairement on a a2 · b = b · a et b · a2 = a · b, ce qui d´ etermine compl´ etement la table de multiplication de G. Il y a donc au plus un groupe non commutatif d’ordre 6. Or S3 en est un, donc c’est le seul. Il y a donc exactement deux groupes d’ordre 6 : Z/6Z et S3. Exercice 9 : ⋆⋆ Soit G un groupe tel que le quotient par son centre est monog` ene. Prouver que G est ab´ elien. 2 Solution de l’exercice 9. On rappelle que le centre Z(G) de G est distingu´ e. On consid` ere le morphisme quotient π : G →G/Z(G). Par hypoth` ese, G/Z(G) est engendr´ e par un ´ el´ ement g0. Comme π est surjective, il existe g0 ∈G tel que π(g0) = g0. Soient alors g, h ∈G. Il existe des entiers n, m ∈Z tels que π(g) = g0n et π(h) = g0m. Donc π(g · g−n 0 ) = π(h · g−m 0 ) = e, donc y = g · g−n 0 et z = h · g−m 0 sont dans Z(G). Alors g · uploads/S4/ tdc1.pdf