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Une solution arabe du problème des carrés magiques par Carra de Vaux Sommaire •

Une solution arabe du problème des carrés magiques par Carra de Vaux Sommaire • I. Carrés pairs • II. — Carrés impairs Il y a quelques années je reçus de Tunis plusieurs livres arabes, parmi lesquels un traité d’el- Bouni intitulé Sharh ismellah el-a’zam, commentaire sur le grand Nom de Dieu. El-Bouni est un auteur bien connu des occultistes, originaire de Bône (Algérie), mort en 622 de l’hégire, 1225 du Christ. Son traité était édité au Caire à la Librairie commerciale Mahmoudieh, sans date. Il contenait une solution générale du problème des carrés magiques ; on sait en effet que ces carrés sont appréciés des Orientaux comme talismans. La solution d’el-Bouni est de celles que l’on a appelées « à enceintes ». Elle peut paraître d’abord compliquée ; elle n’a pas l’élégance et la rapidité de celle que La Loubère a naguère rapportée d’après des Indiens de Sourate ; mais je crois qu’en définitive on doit la juger fort belle, parce qu’elle établit une répartition très nette des nombres composant le carré entre les enceintes successives. Je vais la donner en suivant de près le texte ; nous verrons ensuite ce que l’on peut penser de son origine. On remarquera que pour passer de la position d’un nombre à celle du nombre suivant, l’auteur se sert volontiers de la marche des pièces au jeu d’échecs. I. Carrés pairs El-Bouni commence par former le noyau central, c’est-à-dire le carré intérieur de 4 cases de côté. Il place 1 dans la case à gauche de l’angle supérieur droit, et passe à 2 selon la marche du cavalier, puis place 3 et 4 symétriquement à 2 et 1 par rapport au centre. Il repart de l’angle inférieur droit, y met 5, passe à 6 en marche de cavalier, et dispose 7 et 8 symétriquement à 6 et 5. Les 8 premiers nombres garderont cette position quel que soit le nombre n de construire. Dans les 8 autres cases viendront se placer d’une façon analogue les 8 plus hauts chiffres du carré : n², n²-1,... n² Cela fait, on construit la première « collier) qui aura 6 cases de côté. On part de l’angle supérieur droit où l’on met le 9, nombre impair ; on passe à l’angle opposé en haut où l’on met ce dernier nombre augmenté du nombre des cotés de l’enceinte moins 1, soit 9+6 gauche de l’angle inférieur droit, et l’on y met l’impair qui suit le 9 l’opposé de la case du roi (la voisine du 11) où l’on inscrit le 13 la case voisine où l’on place le 1 jusqu’à ce que les nombres d’impairs placés soit égal an nombre du côté du pourtour moins 2 : ici 6-2 ou 4 ; pour le second pourtour 8 Les 8 premiers nombres garderont cette position quel que soit le nombre n de construire. Dans les 8 autres cases viendront se placer d’une façon analogue les 8 plus hauts 1,... n²-7, pris en descendant. Cela fait, on construit la première « enceinte » ou le premier pourtour (le mot arab collier) qui aura 6 cases de côté. On part de l’angle supérieur droit où l’on met le 9, nombre ; on passe à l’angle opposé en haut où l’on met ce dernier nombre augmenté du nombre des cotés de l’enceinte moins 1, soit 9+6-1 ou 14, un pair. On descend à la case à gauche de l’angle inférieur droit, et l’on y met l’impair qui suit le 9 : 11. On remonte en haut à l’opposé de la case du roi (la voisine du 11) où l’on inscrit le 13 ; on redescend à l’opposé de la case voisine où l’on place le 15. (C’est le mouvement de zigzag.) Ainsi l’on continue jusqu’à ce que les nombres d’impairs placés soit égal an nombre du côté du pourtour moins ; pour le second pourtour 8-2 ou 6, etc. Les 8 premiers nombres garderont cette position quel que soit le nombre n des côtés du carré à construire. Dans les 8 autres cases viendront se placer d’une façon analogue les 8 plus hauts » ou le premier pourtour (le mot arabe est tauq, collier) qui aura 6 cases de côté. On part de l’angle supérieur droit où l’on met le 9, nombre ; on passe à l’angle opposé en haut où l’on met ce dernier nombre augmenté du r. On descend à la case à : 11. On remonte en haut à ; on redescend à l’opposé de 5. (C’est le mouvement de zigzag.) Ainsi l’on continue jusqu’à ce que les nombres d’impairs placés soit égal an nombre du côté du pourtour moins Alors l’auteur passe à la case à gauche de la dernière qu’il vient de meubler, et il y met le nombre qui suit celui de l’angle supérieur droit, ici 10. Il s à-dire obliquement sur le côté gauche du pourtour, où il inscrit le pair suivant, 12. Il recommence le mouvement de zigzag, mais cette fois horizontalement, de pair en pair, et continue jusqu’à ce que le nombre des pairs moins 2. En disposant ainsi les pairs on rencontre celui qui est déjà placé à l’angle supérieur gauche (ici 14) ; il ne faut pas le répéter zigzag. Les deux derniers nombres à placer donnent lieu à une distinction pourtour est pair-impair, (6, 10, 14...), tu continues à disposer les pairs dans le pourtour, à droite et à gauche, jusqu’à ce que tu arrives au dernier pair à placer, q dessus du pair précédent, qui est toujours à droite. « Si le côté du pourtour est pair supérieure gauche dans la case indiquée par le zigzag, qui est toujours du côté gauche, tu mets le pair suivant dans la case voisine au transportes à l’opposé de la case du roi (la case voisine le suivant dans la case voisine au placer, tu te transportes à l’opposé de la case du roi, à gauche à la manière ordinaire, jusqu’à ce que tu en aies placé le nombre du côté du pourtour (n) moins 2 comme nous l’avons dit. « Enfin tu places l’impair qui p rases n’est pas encore meublée, soit à droite, soit à gauche case habitée. » Ayant ainsi rempli la moitié des cases du pourtour, on complète leurs vis vis-à-vis d’un angle est l’angle diagonalement opposé de la tour. II. — Carrés impairs La méthode pour les carrés impairs est moins nette dans le texte publié d’el facile de la rétablir en partant du carré de 3 et en procédant par la différence de carrés. A la diagonale composée des chiffres médians on ajoute aux autres chiffres supérieurs ou chiffre médian on ajoute lu différence des carrés n’² les chiffres inférieurs au chiffre médian sont lai complète en n’² + 1. Alors l’auteur passe à la case à gauche de la dernière qu’il vient de meubler, et il y met le nombre qui suit celui de l’angle supérieur droit, ici 10. Il se porte « en marche du fou dire obliquement sur le côté gauche du pourtour, où il inscrit le pair suivant, 12. Il recommence le mouvement de zigzag, mais cette fois horizontalement, de pair en pair, et continue jusqu’à ce que le nombre des pairs placés égale aussi le nombre du côté du pourtour En disposant ainsi les pairs on rencontre celui qui est déjà placé à l’angle supérieur gauche ; il ne faut pas le répéter : on passe au pair suivant (16) qui prend sa place dans le Les deux derniers nombres à placer donnent lieu à une distinction : « Si le nombre du impair, (6, 10, 14...), tu continues à disposer les pairs dans le pourtour, à droite et à gauche, jusqu’à ce que tu arrives au dernier pair à placer, que tu mettras au dessus du pair précédent, qui est toujours à droite. Si le côté du pourtour est pair-pair (8, 12. 16...) tu places le pair qui suit celui de la case supérieure gauche dans la case indiquée par le zigzag, qui est toujours du côté gauche, tu mets le pair suivant dans la case voisine au-dessus, sur ce même côté gauche transportes à l’opposé de la case du roi (la case voisine à droite. tu y mets le pair suivant puis le suivant dans la case voisine au-dessus sur ce même côté droit ; s’il te reste des pairs à placer, tu te transportes à l’opposé de la case du roi, à gauche à la manière ordinaire, jusqu’à ce que tu en aies placé le nombre du côté du pourtour (n) moins 2 comme nous l’avons dit. Enfin tu places l’impair qui précède le dernier pair, sur le côté du pourtour où la moitié des rases n’est pas encore meublée, soit à droite, soit à gauche ; mais ne le mets pas en face d’une Ayant ainsi rempli la moitié des cases du pourtour, on complète leurs vis-à- vis d’un angle est l’angle diagonalement opposé ; le vis-à-vis des autres cases est celui La méthode pour les carrés uploads/S4/ une-solution-arabe-du-probleme-des-carres-magiques-carra-de-vaux.pdf