CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUE
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR Dernière mise à jour : le 26/08/14 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 Introduction L’épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante : — 25 minutes de préparation sur table. — 25 minutes de passage à l’oral. Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr — un exercice sur 12 points. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les 113 exercices de la banque pour la session 2015 : — 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58). — 37 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 95). — 18 exercices de probabilités (exercice 96 à exercice 113). Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire. Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices. Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document. Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : • A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 • D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques des CCP, filière MP. Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que un ∼ +∞vn. Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh 1 n −tan 1 n . Corrigé exercice 1 1. Puisque un ∼ +∞vn, on peut écrire, au voisinage de +∞, un = vn + o(vn). o(vn) = εnvn avec lim n→+∞εn = 0. lim n→+∞εn = 0 donc il existe entier N tel que : ∀n ∈N, n ⩾N⇒|εn| ⩽1 2. Et donc ∀n ⩾N, |o(vn)| = |εnvn| ⩽1 2 |vn| c’est à dire ∀n ⩾N, −1 2|vn| ⩽o(vn) ⩽1 2|vn|. On en déduit que ∀n ⩾N, −1 2|vn| + vn ⩽un ⩽1 2|vn| + vn. (*) Soit n ∈N tel que n ⩾N. Premier cas : Si vn ⩾0 Alors d’après (*), un ⩾1 2vn et donc un ⩾0. Deuxième cas cas : Si vn ⩽0 Alors d’après (*), un ⩽1 2vn et donc un ⩽0. On en déduit qu’à partir du rang N, un et vn sont de même signe. Autre méthode : un ∼ +∞vn ⇐ ⇒ ∃(εn) / un −vn = εnvn avec lim n→+∞εn = 0 ⇐ ⇒ ∃(εn) / un = (1 + εn)vn avec lim n→+∞εn = 0 (∗) lim n→+∞εn = 0 donc il existe un entier n0 tel que : ∀n ∈N, n ⩾n0 = ⇒|εn| ⩽1 2. Donc, ∀n ∈N, n ⩾n0 = ⇒−1 2 ⩽εn ⩽1 2 . On en déduit que ∀n ∈N, n ⩾n0 = ⇒1 + εn ⩾1 2 > 0. (**) D’après (*) et (**), pour n ⩾n0, un et vn sont de même signe. 2. Au voisinage de +∞, sh( 1 n) = 1 n + 1 6n3 + o 1 n3 et tan 1 n = 1 n + 1 3n3 + o 1 n3 . Donc un ∼ +∞−1 6n3 . On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, un est négatif. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 On pose f(x) = 1 (x + 1)2(3 −x) . 1. Décomposer f(x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] −1; 3[ telle que G(1) = 0. 2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence. 3. Déduire de ce développement la valeur de G(3)(0). Corrigé exercice 2 On pose f(x) = 1 (x + 1)2(3 −x) . 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 1 16 × 1 x + 1 + 1 4 × 1 (x + 1)2 + 1 16 × 1 3 −x. Les primitives de f sur ]−1; +3[ sont donc les fonctions F définies par : F(x) = 1 16 ln x + 1 3 −x −1 4 × 1 (x + 1) + C avec C ∈R. De plus, F(1) = 0 ⇐ ⇒C = 1 8. Donc, ∀x ∈]−1; 3[, G(x) = 1 16 ln x + 1 3 −x −1 4 × 1 (x + 1) + 1 8. 2. D’après le cours, x 7− → 1 x + 1 et x 7− → 1 (x + 1)2 sont développables en série entière à l’origine. Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1) On a ∀x ∈]−1, 1[, 1 1 + x = +∞ P n=0 (−1)nxn. Et, ∀x ∈]−1, 1[, 1 (1 + x)2 = +∞ P n=1 (−1)n+1nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent). Enfin, 1 3 −x = 1 3 1 −x 3 . Donc x 7− → 1 3 −x est développable en série entière à l’origine. Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2) Et, on a ∀x ∈]−3; 3[, 1 3 −x = 1 3 +∞ P n=0 xn 3n On en déduit que f est développable en série entière. On note R le rayon de convergence de ce développement en série entière. D’après (1) et (2), R ⩾1. Or lim x→−1 |f(x)| = +∞donc R ⩽1. Donc R = 1. Et ∀x ∈]−1; 1[, f(x) = 1 16 +∞ P n=0 (−1)nxn + 1 4 +∞ P n=0 (−1)n(n + 1)xn + 1 16 × 1 3 +∞ X n=0 xn 3n . C’est-à-dire ∀x ∈]−1; 1[, f(x) = +∞ X n=0 (−1)n 16 + (−1)n(n + 1) 4 + 1 16 × 3n+1 xn. 3. D’après le cours, les coefficients d’un développement en série entière sont ceux de la série de Taylor associée. Donc, si on pose ∀n ∈N, an = (−1)n 16 + (−1)n(n + 1) 4 + 1 16 × 3n+1 , alors, ∀n ∈N, an = f n(0) n! . Ainsi, G(3)(0) = f (2)(0) = 2!a2 = 2 × 1 16 + 3 4 + 1 16 × 27 = 44 27 . CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = 1 1 + x. Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. 2. On pose f(x) = e2x 1 + x. En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour x ∈R\ {−1}, la valeur de f n(x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. Corrigé exercice 3 1. g est de classe C∞sur R et h est de classe C∞sur R\ {−1}. On prouve, par récurrence, que : ∀x ∈R, g(k)(x) = 2ke2x et ∀x ∈R\ {−1}, h(k)(x) = (−1)kk! (1 + x)k+1 . 2. g et h sont de classe C∞sur R\ {−1} donc, d’après la formule de Leibniz, f est de classe C∞sur R\ {−1} et ∀x ∈R\ {−1} : f (n)(x) = n X k=0 uploads/Finance/ 2014-09-24-oraux-ccp-banque-exercices-pdf.pdf
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- Publié le Mar 06, 2021
- Catégorie Business / Finance
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