Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2

Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Modèles de marché à temps discret 80-646-08 Calcul stochastique I Geneviève Gauthier HEC Montréal Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Introduction I Nous allons étudier en profondeur la section 2 : ”The Finite Theory” de l’article Martingales, Stochastic Integrals and Continuous Trading de J. M. Harrison et S. R. Pliska. Le modèle de marché utilisé est assez général. En e¤et, un nombre …ni (mais peut-être énorme) de titres sont modélisés pendant un nombre …ni (mais, encore une fois, possiblement très grand) de périodes de temps. La seule restriction concernant les distributions des prix des parts des titres à chaque instant est que ces distributions doivent être discrètes et positives, c’est-à-dire que pour chaque titre et chaque instant, le prix d’une part du titre à ce moment ne peut prendre qu’un nombre …ni de valeurs strictement positives. Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Introduction II Le premier résultat important de cette section est la proposition 2.6 de la page 227. Il est démontré que s’il existe une mesure de probabilité sous laquelle tous les processus de prix actualisés des titres sont des martingales, alors nous pouvons construire, à partir de cette mesure, un système de prix pour les droits contingents accessibles cohérent avec le modèle de marché. D’autre part, s’il existe un tel système de prix, alors nous pouvons construire, en nous basant sur ce dernier, une mesure de probabilité changeant nos processus de prix actualisés en martingales. Cette proposition établit donc une relation bijective entre l’ensemble des mesures martingales et les systèmes de prix cohérents. Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Introduction III Il est à noter que cette proposition est muette quant à l’existence d’au moins une mesure martingale ou à l’existence d’au moins un système de prix. Elle ne fait qu’a¢rmer que si l’un ou l’autre existe, alors les deux existent et elle explicite le lien qui les unit. Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Introduction IV Le théorème 2.7 de la page 228 établit la condition nécessaire et su¢sante à l’existence d’au moins une mesure martingale et, par conséquent, d’au moins un système de prix cohérent. Cette condition est l’absence d’arbitrage dans le modèle de marché. Comme il est possible qu’il y ait plusieurs systèmes de prix cohérents avec le marché, il faudrait s’assurer que peu importe le système de prix utilisé, le prix associé à un droit conditionnel accessible X donné soit toujours le même, c’est-à-dire que si π1 et π2 sont deux systèmes de prix cohérents, alors pour tout droit conditionnel accessible X, π1 (X) = π2 (X). Ce résultat est le corollaire de la page 228. Introduction La notation Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Annexe Introduction V Comment fait-on pour véri…er si notre modèle de marché n’admet pas l’arbitrage? Une condition nécessaire et su¢sante à l’absence d’arbitrage est établie au lemme de la page 228. La proposition 2.8, page 230, démontre que la valeur au marché actualisée d’une stratégie admissible est une martingale sous toutes les mesures martingales du modèle de marché. Ce résultat est utilisé lors de la démonstration de la proposition 2.9 (page 230) indiquant comment il est possible de déterminer la valeur au marché d’un droit conditionnel accessible à tout moment. La dernière section aborde la notion de complétude des marchés. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références L’espace probabilisé Nous travaillons sur un espace probabilisé …ltré (Ω, F, F, P). L’ensemble fondamental Ωpossède un nombre …ni d’éléments, chacun d’eux représentant un des états possibles du monde. Nous supposons que l’ensemble des intervenants sur le marché s’accorde sur le fait que Ω représente tous les états du monde réalisables. Ainsi, puisque chaque état du monde ω 2 Ωest possible, la mesure de probabilité P prévalant sur l’espace probabilisable (Ω, F) doit être telle que 8ω 2 Ω, P (ω) > 0. La mesure P, associant une probabilité à chaque état du monde, représente la vision d’un investisseur en particulier, c’est-à-dire que deux investisseurs peuvent associer des probabilités di¤érentes au même état du monde ω. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références La …ltration Structure d’information Nous choisissons d’observer le système jusqu’à un moment T, date d’échéance des activités économiques considérées. Comme le temps est étudié de façon discrétisée, la …ltration F = fFt : t 2 f0, 1, ..., Tgg représente l’information disponible à chaque instant. Nous posons F0 = f∅, Ωg , la tribu ne contenant aucune information, et FT = l’ensemble de tous les événements de Ω, c’est-à-dire que FT nous permet de distinguer chacun des états du monde réalisables. Comme Card (Ω) < ∞, il existe pour tout t 2 f0, 1, ..., Tg, une partition …nie Pt =  At 1, ..., At nt qui engendre la sous-tribu Ft. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Les titres I Nous modélisons K + 1 titres. De…nition Le processus stochastique multidimensionnel ! S = n! S t : t 2 f0, 1, ..., Tg o représentant l’évolution du prix des parts de chacun des titres est formé des vecteurs colonnes aléatoires ! S t = S0 t , S1 t , ...SK t
0 où Sk t = le prix d’une part du titre k au temps t. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Les titres II Chacune des composantes Sk =  Sk t : t 2 f0, 1, ..., Tg du processus de prix ! S est un processus stochastique adapté à la …ltration F et est à valeurs strictement positives. Puisque Card (Ω) < ∞, nous avons que 8t 2 f0, 1, ..., Tg et 8k 2 f0, 1, ..., Kg , Sk t est une variable aléatoire de distribution discrète, c’est-à-dire qu’elle ne peut prendre qu’un nombre …ni de valeurs. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Les titres III De…nition Le 0 ième titre a un rôle un peu particulier, en ce sens qu’il est un titre sans risque (nous pouvons penser, par exemple, à un compte bancaire ou à une obligation). Cela implique que 8ω 2 Ωet 8t 2 f0, 1, ..., T 1g , S0 t (ω)  S0 t+1 (ω) . Nous pouvons aussi supposer, sans perte de généralité, que 8ω 2 Ω, S0 0 (ω) = 1. Nous utiliserons le processus stochastique unidimensionnel βt = 1 S0 t comme facteur d’actualisation. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction indicatrice Prop. 2.6 Lemme p.228 Théorème 2.7 Cor. p. 228 Prop. 2.8 Prop. 2.9 Tari…cation Mesures Q Marché complet Références Les titres IV La …ltration F décrit comment l’information est révélée aux investisseurs à tout moment. Le fait que F0 = f∅, Ωg implique que les composantes de ! S 0 sont constantes, c’est-à-dire qu’au temps t = 0, les prix de tous les titres sont connus avec certitude. Comme Ft est engendrée par la partition …nie Pt =  At 1, ..., At nt , alors, au temps t, tout investisseur connaît avec certitude lequel des atomes de Pt s’est réalisé, mais n’est pas en mesure de distinguer entre les éléments de cet atome. Puisque FT est la tribu composée de tous les événements possibles de Ω, les investisseurs peuvent, au temps T, déterminer avec certitude quel est l’état du monde ω qui s’est réalisé. Introduction La notation Espace probabilisé Filtration Titres Stratégie d’investissement Arbitrage Droit conditionnel Système de prix Mesure neutre au risque Fonction uploads/Finance/ 6-harris-son-p-liska.pdf

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• Détails
• Publié le Jul 23, 2022
• Catégorie Business / Finance
• Langue French
• Taille du fichier 1.8220MB