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Mohammed El Amrani Suites et séries \ 1 O P ' " ^ I numériques Suites et séries

Mohammed El Amrani Suites et séries \ 1 O P ' " ^ I numériques Suites et séries de fonctions Suites et series numériques Suites et séries de fonctions Mohammed Ei Amrani Collection Références sciences dirigée par Paul de Laboulaye paul.delaboulaye@editions-elllpses.fr De l'Intégration aux probabilités, Olivier Goret, Aline Kurtzmonn, 504 pages, 2011. Épistémologie mathématique. Henri Lombordi,216 pages, 2011. Intégration -Intégrale de Lebesgue et Introduction à l'analyse fonctionnelle. Thierry Goudon, 192 pages, 2011. Suites et séries numériques. Suites et séries de fonctions. Mohammed El Amrani, 456 pages, 2011. ISBN 978-2-7298-70393 © Ellipses Édition Marketing S.A., 2011 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes de l’article L. 122-5.2* et 3"a), d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée parles articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.editions-ellipses.fr Avant-propos Le but de cet ouvrage est de présenter un cours complet sur les notions fondamentales de suites et de séries, aussi bien dans le cadre numérique que dans celui des fonctions. Le programme traité couvre les trois années de la Licence, et le cours est rédigé de manière à ce que chaque lecteur y trouve le niveau adapté à son parcours et à ses attentes. Ainsi, pour le programme relevant du niveau Ll, l’étudiant débutant trouvera des défi nitions motivées et détaillées ainsi que des énoncés illustés de nombreux exemples et contre-exemples. Pour le programme spécifique au L2 et au L3, nous avons veillé à ce que la rédaction soit là aussi très détaillée tant au niveau des énoncés que celui des démonstrations, mais nous avons fait appel à un niveau de langage mathématique, notamment celui des quantificateurs, qui permette au lecteur d’acquérir les bases nécessaires à une progression harmonieuse et exigeante. L’apprentissage des mathématiques requiert la recherche active et régu lière de nombreux exercices, c’est pourquoi chaque chapitre du cours en propose un grand choix. Ces exercices, tous entièrement corrigés, vont du test de compréhension et d’application directe du cours à l’exercice plus élaboré destiné au travail d’approfondissement. Pour les révisions, le lecteur trouvera un chapitre entièrement consacré à des problèmes de synthèse, tous entièrement corrigés, et pour lesquels nous avons systé matiquement privilégié la solution méthodique et raisonnable que peut découvrir l’étudiant lui-même, à une éventuelle solution “rusée”, voire “miraculeuse”. Cet ouvrage est le fruit d’une expérience de plusieurs années de cours et de travaux dirigés à l’Université d’Angers, sa rédaction a été guidée par un souci pédagogique constant, et nous avons recherché l’équilibre nécessaire entre les points de vue théorique et pratique. Si ce livre s’adresse principalement aux étudiants des trois années de la Licence, il est conçu de manière à être utilisé avec profit par les candidats au CAPES de Mathématiques ou à l’Agrégation interne ainsi que par les élèves des classes préparatoires scientifiques. Table des matières Avant-propos vii 1 Suites réelles ou complexes 1 1 Exemples de suites définies par récurrence..................... 1 2 Limites de s u ite s ................................................................ 11 3 Suites monotones, suites adjacentes.................................. 32 4 Suites de C auchy................................................................ 34 5 Suites récurrentes de type Un+\ = /(w„) 38 6 Convergence : vitesse et accélération ............................... 39 7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 ............ 47 2 Séries réelles ou complexes 79 1 Généralités ......................................................................... 79 2 Séries à termes positifs....................................................... 85 3 Règles de Cauchy et de D’Alembert.................................. 93 4 Séries semi-convergentes.................................................... 97 5 Produit de Cauchy de deux séries..................................... 101 6 Groupement et permutation des term es........................... 103 7 Calcul approché de la somme d’une sé rie ........................ 107 8 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2 ............ 110 3 Suites de fonctions 139 1 Convergence simple et convergence uniform e.................. 139 2 Convergence uniforme et continuité.................................. 145 3 Convergence uniforme et dérivation.................................. 148 4 Convergence uniforme et intégrale de Riemann............... 151 5 Convergence uniforme et intégrales im propres............... 153 6 Théorème d’approximation de W eierstrass..................... 156 7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3 ............ 159 IX Table des matières 4 Séries de fonctions 189 1 Différents modes de convergence........................................ 189 2 Convergence uniforme et lim ite ........................................ 195 3 Convergence uniforme et continuité.................................. 196 4 Dérivation terme à term e.................................................... 197 5 Intégration terme à terme sur un segment ..................... 199 6 Intégration terme à terme sur un intervalle..................... 200 7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4 .............. 201 5 Séries entières réelles ou complexes 229 1 Rayon de convergence ................................................... 229 2 Opérations sur les séries entières........................................ 235 3 Convergence uniforme et séries entières........................... 238 4 Propriétés de la fonction somme........................................ 239 5 Fonctions développables en série entière........................... 241 6 Séries entières classiques.................................................... 248 7 Fonctions usuelles de variable complexe........................... 251 8 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5 .............. 256 6 Séries de Fourier 287 1 L’espace préhilbertien C2,r(lR)C)....................................... 287 2 Séries trigonométriques....................................................... 295 3 Séries de Fourier ................................................................ 298 4 Formule de Parseval .......................................................... 307 5 Noyau et théorème de D irichlet....................................... 311 6 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6 .............. 316 7 Problèmes de révision corrigés 343 1 Problèmes sur les suites et les séries numériques............ 343 2 Problèmes sur les suites et les séries de fonctions............ 374 3 Problèmes sur les séries entières........................................ 390 4 Problèmes sur les séries de Fourier..................................... 399 Bibliographie Index 431 433 Chapitre 1 Suites réelles ou complexes La notion de suite et de limite naquit avec la méthode d’exhaustion, tech nique utilisée par les mathématiciens grecs de l’Antiquité pour le calcul de longueur, d’aire et de volume. C’est ainsi qu’Archimède^ approximait l’aire d’un cercle en y inscrivant une suite de polyèdres réguliers. La no tion de limite est centrale en Analyse, elle est au cœur de la définition fondamentale de dérivée, d’intégrale et de série. Ce chapitre traite une partie cruciale du programme de Ll, c’est pourquoi nous l’avons rédigé de manière à être parfaitement accessible au lecteur débutant. Nous y avons détaillé un grand nombre d’exemples et évité tout formalisme inutile et tout emploi de quantificateurs. 1 Exemples de suites définies par récurrence 1.1. Introduction 1.2. Définition Soit E un ensemble non vide. On appelle suite à va leurs dans E, toute application u : D E où D est une partie de N. Lorsque E est une partie de R (resp. de C), on dit que la suite est réelle (resp. complexe). Dans ces deux cas on parle de suite numérique. ^ARCHIMÈDE. Né à Syracuse en Sicile vers 287 av. J.-C., et mort à Syracuse en 212 av.J.-C.. Généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité classique, il a notamment utilisé la méthode d’exhaustion pour calculer l’aire sous un arc de parabole à l’aide d’une somme de série, et a donné un encadrement de n d’une remarquable précision. Il fut également un physicien et un ingénieur de grande envergure. 1 Chapitre 1. Suites réelles ou complexes 1.3. Remarque Si и est u._e suite numérique, on devrait normalement noter u(h) l’image de n par a. L’usage veut que l’on écrive à la place de u(n). On remarquera que est simplement l’une des valeurs de la suite (on dit aussi un des termes de la suite, ou encore le terme général de la suite). La suite elle-même est la fonction u, mais on peut aussi écrire la suite complète sous la forme (un)neD- exemple, lorsque D = N, on notera la suite sous la forme (un)neN> ou encore (u„)„>o. Lorsqu’aucun risque de confusion n’est à craindre sur D, on notera simplement (u„) au lieu de (un)neD- Par commodité, nous supposerons souvent que les suites considérées sont définies à partir du rang n = 0. Si une suite n’est définie qu’à partir d’un certain rang p (p > 0), on se ramène au cas précédent en étudiant la suite (un)neN définie par = U n+p. Une suite peut être définie par la donnée d’une formule explicite : Un = f(n), OÙ / est une combinaison de symboles connus. Par exemple, si pour n > 0 on pose : 5n^ Ч- n -t-1 = Vn^ + 1 ; Vn = + 1 Wn — I 1+ n + 1 on obtient trois exemples de suites définies explicitement en fonction de l’entier n. Mais souvent une suite (lin)neN est définie de façon plus détournée, par la donnée de uo et d’une relation de récurrence Un — ip{un-i) pour tout n > l, où (f est une fonction explicitement connue, ce qui permet de calculer de proche en proche le terme tt„ quand on connaît u„_i. Par exemple, la suite (un)neN donnée par Щ = -, et Un = 3un-i{l uploads/Finance/ amrani-suites-seriesnum-seriesfonctions.pdf