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N.MACHKOUR 1ere année cycle préparatoire de l’ENSAM Année scolaire 2012-2013 An

N.MACHKOUR 1ere année cycle préparatoire de l’ENSAM Année scolaire 2012-2013 Analyse transitoire des circuits électriques I. Positionnement de l’étude Dans ce chapitre nous nous intéressons à l’étude de l’évolution temporelle des grandeurs après l’établissement ou la disparition des sources. Les solutions obtenues découlent de deux régimes superposés : Un régime transitoire, caractérisé par la solution générale de l’équation sans second membre (dit aussi régime libre), Et un régime permanent, qui matérialise une solution particulière de l’équation avec second membre (le régime forcé). II. Introduction Menons l’étude du courant i(t) pour les réseaux suivants le signal ue(t) est un échelon de tension d’amplitude E La mise en équation conduit à : Après t = 0, dans le premier cas (figure 1), la mise en équation conduit à une équation différentielle du premier ordre : on dit que l’on a affaire à un circuit du premier ordre (un tel circuit possède souvent un seul élément réactif), ans l’autre cas (figure2), on obtient une équation différentielle du second ordre : on dit que l’on a affaire à un circuit du second ordre (il y a souvent deux éléments réactifs). III. Etude temporelle des circuits du premier ordre 1. Equation et résolution Un circuit du premier ordre est régi par une équation différentielle de la forme suivante : Avec : est la constante de temps du circuit, homogène à un temps. ue(t) est le second membre qui traduit l' influence extérieure au circuit. 2. Exemple : Circuit RC Analysons le comportement du circuit RC de la Figure suivante lorsque l’on applique un échelon de tension d’amplitude E. Mise en équation : L’équation est bien celle d’un circuit du premier ordre, qu’il ne reste qu’à résoudre. 0 ) ( ) ( ) (    t uc t Ri t ue ) ( 1 ) ( 1 ) ( t ue RC t uc RC t dt duc   A la mise sous tension (charge) Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM) Il s’agit de la dérivée de la fonction logarithme, on a donc uc(t) = Kexp(-t/RC) ou K est une constante réelle, homogène à une tension. Solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) Ici, la solution est recherchée sous la forme d’une constante Uc∞ et manifeste le régime permanent. On a donc donc la solution particulière est E. RC t uc t c u 1 ) ( ) ( '   RC dt t uc d 1 )) ( (ln(   RC E RC Uc    La solution complète est la superposition des deux solutions précédentes, c’est à dire : Pour rechercher la constante K, il faut connaître une condition initiale du circuit. Cette dernière est trouvée en analysant la valeur de uc à l’instant où l’on applique l’échelon de tension. Ici, on considère qu’à t = 0+, uc(0+) = Uc0. On a alors uc(0+) = Kexp(0/RC) + E  K+E =Uc0, soit K = Uc0 - E. En résumé, la solution représentant la tension aux bornes du condensateur lorsque l’on applique un /échelon de tension est : E RC t K t uc         exp ) ( A la rupture de la source (décharge) A la rupture de la source, le générateur n’apparaît plus dans la mise en équation, i.e. ue(t)=0. L’équation devient : uC(t) + Ri(t)=0, ce qui fournit uC’(t) + 1/RC.uC(t) = 0. La solution est donc (SGESSM)+(0) : uc(t) = K.exp(-t/RC) avec K réelle, homogène à une tension. Pour rechercher la constante K, il faut connaître la condition initiale du circuit. Cette fois le condensateur était totalement chargé, donc UC0 = E à t = 0. Ceci conduit à K = E. En résumé, la solution représentant la tension aux bornes du condensateur après la rupture de la tension est : IV. Etude temporelle des circuits du second ordre 1. Equation et résolution Un système linéaire du second ordre répond à l’équation différentielle suivante : Etude du régime libre Posons d’abord l’équation caractéristique : Le discriminant (réduit) est :   > 0, donc z2 > 1, c’est-à-dire z > 1 (car z  0) : les deux racines r1 et r2 sont réelles. sont de même signe (souvent négatives). La SGESSM s’écrit alors :  = 0, donc z2 = 1, c’est à dire z = 1 (car z  0) : la racine r est double. r = -0  < 0, donc z2 < 1, c’est à dire z < 1 : les deux racines r1 et r2 sont complexes conjuguées. On pose alors : La SGESSM s’écrit : Etude du régime forcé Ce régime correspond à la SPEASM. Les solutions particulières les plus courantes pour ce qui nous concerne sont la constante ou la somme de fonctions trigonométriques de même pulsation que celle de la source. La solution complète est la somme des deux solutions précédemment définies. La résolution se termine par la recherche des constantes grâce à la connaissance des conditions initiales. 2. Exemple : circuit RLC série à la mise sous tension Analysons le comportement du circuit RLC suivant lorsque l’on applique un échelon de tension d’amplitude E. Equations L’équation est bien celle d’un circuit du second ordre Solution générale de l’équation sans second membre (SGESSM) Equation caractéristique : LCr 2 + RCr +1 = 0 on pose RC =  = 2z/0 et LC = 1/0 2 1er cas :  > 0, donc  2 > 4/ 0 2, soit  > 2/ 0 car les grandeurs sont positives. 2ème cas :  = 0,  2 = 4/ 0 2, soit  = 2/ 0 . r = - 0 donc 3ème cas :  < 0, donc  2 < 4/ 0 2. Solution particulière de l’équation avec second membre (SPEASM) Dans le cas du courant, le second membre est nul, cette partie de la solution est nulle.  Solution complète La solution complète est la somme des 2 solutions partielles précédentes. Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions initiales. Dans notre cas : à t = 0+, i(0+) = 0 et uC(0+)=0, c.a.d uL(0+) = E. uploads/Finance/ analyse-transitoire-des-circuits-electriques.pdf