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Arbitrage et théorie factorielle Une introduction Philippe Bernard EURIsCO Univ

Arbitrage et théorie factorielle Une introduction Philippe Bernard EURIsCO Université Paris IX Version préliminaire Avril 2005 Table des matières 1 Du MEDAF à la théorie factorielle 2 2 Arbitrage et prix d’équilibre 4 3 Principes de la théorie factorielle 12 3.1 Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Structure factorielle et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Absence d’opportunités d’arbitrage et prime de risque . . . . . . . . . . . . 18 4 Equilibre, CAPM et structure factorielle 24 4.1 Le cadre et les équations de valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 La théorie factorielle d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 La logique factorielle de la prime de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Valorisation factorielle approximative 31 5.1 La sous-estimation du rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Diversiﬁcation des risques et erreur de pricing . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Aversion au risque et encadrement de l’erreur de pricing . . . . . . . . . . 35 1 1 Du MEDAF à la théorie factorielle La théorie du MEDAF demeure un des achèvements majeurs de la théorie ﬁnancière. Non seulement, sa théorie de la prime de risque permet de déterminer théoriquement l’excès de rendement en fonction d’un nombre réduits de paramètres exogènes, mais elle s’est avérée empiriquement remarquablement robuste. La seconde contribution décisive de la littérature du CAPM fut le théorème des deux fonds. Comme le démontre ce théorème, dans le cadre du CAPM, le portefeuille optimal a une structure remarquablement simple : il se réduit en eﬀet à une combinaison linéaire de l’actif certain et d’un portefeuille risqué (de structure constante). La prise en compte de la contrainte permet de caractériser plus avant ce portefeuille risqué : nécessairement, à l’équilibre celui-ci est simplement le portefeuille de marché, i.e. le portefeuille déﬁni par l’ensemble des actifs existants. Les implications de ce théorème sont très importantes : “The porfolio advice is not so remarkable for what it does say, which given the setup is fairly straighforward, as it is for what it does not say. Compared with common sense and much industry practice, it is radical advice.” ([Coc99] p. 2) En eﬀet, ce théorème établit l’ “erreur de l’architecte” : le conseiller ﬁnancier, à la diﬀérence de l’architecte, ne doit pas en eﬀet chercher à faire du sur-mesure, à ajuster le portefeuille risqué aux caractéristiques de son client ; il doit se contenter de proposer un portefeuille constitué de deux éléments communs combinés en proportions variables. Les caractéristiques des agents, notamment leurs aversions à l’égard du risque, ne jouent en eﬀet, non sur la structure du portefeuille risqué souhaitable, mais sur la part investie en actif certain (et dans le portefeuille risqué) : plus le client est désireux de minimiser le risque, plus la part de son portefeuille investi dans l’actif certain sera important. Si l’on accorde crédit au CAPM, on est donc conduit : — à admettre que les rendements supérieurs sont possibles mais sont essentiellement la contrepartie d’un risque plus élevé; — à prôner une gestion indicielle. Cette prescription, loin de rester dans les revues académiques, conduisit aux Etats- Unis au début des années 70 à une innovation ﬁnancière majeure : l’introduction des 2 fonds indiciels. En eﬀet, à Wells Fargo, sous l’impulsion de William Fouse, la pratique succéda à la théorie. En juillet 1971, fut ainsi lancé le premier fond indiciel de 6M$ au proﬁt fond de retraite de Samsonite; ce fond investissait dans 1500 actions côtées au New York Stock Exchange. En dépit de la diﬃculté de gestion de ce premier fond, des coûts de transaction entraînés par le rééquilibrage quasi-permanent du fond, cette expérience conduisit Wells Fargo à lancer un nouveau fond indiciel (ouvert cette fois) de 5M$ en 1973 mimant alors le Standard and Poor’s 500 lequel représentait alors environ 65% de la capitalisation boursière américaine. Au cours des années 70, les fond indiciels se développèrent fortement passant de 6M$ en 1971 à 10MM$ en 1980. Aujourd’hui, aux Etats-Unis, environ 30% des actifs des investisseurs institutionnels sont indexés. Toute théorie scientiﬁque est nécessairement fausse : elle ne se veut qu’une caricature de la réalité qui substitue à la complexité incompréhensible du réel une représentation simpliﬁée qui isole et met l’accent sur certains facteurs, certains mécanismes jugés fonda- mentaux. Le prix à payer est d’ignorer de nombreux déterminants, de nombreux détails jugés de second ordre. Le CAPM n’échappe pas à cette logique : il est une théorie basée sur des restrictions nécessairement fortes, notamment les deux suivantes : — un cadre statisque; — des restrictions sur les préférences (préférences quadratiques des agents). La levée de chacune de ces hypothèses conduit à envisager des modèles factorielles. Le CAPM obtenait ses résultats en restreignant fortement les préférences des décideurs. Peut-on lever cette seconde hypothèse? Au cours des années 70, dans la vague de la cri- tique de Roll [1977] [Rol77] et de la multiplication des premiers résultats “invalidant” le CAPM, Ross [1976] [1977] [Ros76] [Ros77] proposa une approche alternative : la théorie factorielle ou en anglais l’asset pricing theory (APT). Celle-ci repose essentielle- ment sur une restriction de la structure des rendements des actifs ﬁnanciers et l’utilisation du principe d’évaluation par arbitrage, une des méthodes les plus puissantes de la théo- rie ﬁnancière, méthode qui pour Ross constitue même un des fondements de la théorie ﬁnancière moderne : ‘Finance is a subﬁeld of economics distinguished by both its focus and its methodology. The primary focus of ﬁnance is the workings of the capital markets and the supply and the pricing of capital assets. The methodology of 3 ﬁnance is the use of close substitutes to price ﬁnancial contracts and instru- ments. This methodology is applied to value instruments whose characteristics extend across time and whose payoﬀs depend upon the resolution of uncer- tainty.’ ([Ros89] p.322) 2 Arbitrage et prix d’équilibre A la base du calcul d’actualisation se trouve l’hypothèse de l’absence de repas gratuit (no free lunch), l’impossibilité à l’équilibre des marchés de réaliser des proﬁts par simple arbitrage sans aucune mise de fonds initiale. Pour formaliser cette hypothèse, considérons une économie à deux périodes : 0 et T - T étant la période terminale, 0 la période où les marchés ﬁnanciers sont ouverts, où les agents échangent et se contituent des portefeuilles. Le futur peut prendre S valeurs possibles résumées par les S états du monde. Les revenus futurs des actifs ﬁnanciers, des investissements, ainsi que les dotations futures des agents sont conditionnées sur les états du monde. Sur les marchés ﬁnanciers, divers actifs risqués a = 1, ...A sont échangés dont les revenus futurs sont Va1, ..., Vas, ..., VaS, dont le prix est noté qa. Sur les marchés ﬁnanciers, chaque agent i détermine en fonction notamment de ces variables, de ses croyances sur le futur, la quantité souhaitée Xi a de chaque titre a. Prenons les notations suivantes : V =         V01 V11 ... VA1 V02 V12 ... VA2 ... ... ... ... V0S V1S ... VAS         X =         Xi0 Xi1 ... XiS         q = [q0, q1, ..., qA] où l’actif 0 est l’actif certain. Lorsque l’on sélectionne le portefeuille X, le coût de ce portefeuille est donc q.X, le proﬁl des revenus futurs de celui-ci est VX. Si VX ≥0, le 4 portefeuille X assure donc des revenus non négatifs dans l’ensemble des états du monde. Si les prix des actifs q sont tels que le coût de ce même portefeuille X est négatif : q.X, l’état du marché permet donc aux agents de se créer des opportunités d’arbitrage (dites de second type)1 : q.X < 0 et VX ≥0 Sans prise de risque (puisque VX ≥0), sans mise initiale de fonds, il est donc possible de dégager immédiatement un proﬁt d’arbitrage. Evidemment, au lieu de se contenter du portefeuille X, l’agent considéré pourrait sélectionner un portefeuille ayant la même structure mais de taille double, triple, décuple, etc... : le portefeuille ainsi construit serait toujours possible2, le proﬁt de l’agent en serait seulement doublé, uploads/Finance/ arbitrage-et-theorie-factorielle.pdf