CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUE

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Walbron et A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR Dernière mise à jour : le 08/01/15 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15 Introduction L’épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante : — 25mn de préparation sur table. — 25mn de passage à l’oral. Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr — un exercice sur 12 points. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2015 : — 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58). — 37 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94). — 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112). Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire. Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices. Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3. Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : • A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 • D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques des CCP, filière MP. Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15 MISES À JOUR : mise à jour du 21/09/14 : exercice 5 corrigé 2. ( 3 dernières lignes). mise à jour du 25/11/14 : Exercice 1 : énoncé et corrigé 1. exercice 5 : corrigé 2. ligne 7 (équivalent de un). exercice 7 : énoncé (notation de la série de fonctions) et corrigé 1. exercice 8 : corrigé 1. ligne 6. exercice 9 : corrigé 2.b. R changé en [0; +∞[. exercice 15 : corrigé 2. complété. exercice 16 : corrigé 1. dernière ligne rajoutée. exercice 22 : corrigé 1. distinction Ra ̸= 0 et Ra > 0. exercice 23 : corrigé 1. dernière ligne. exercice 29 : :corrigé 3. rajout en fin de question. exercice 34 : corrigé 2. troisième ligne a changé en x. exercice 39 : énoncé (ordre des questions modifié) et corrigé 4. rajout de la comparaison F et (F ⊥)⊥. exercice 41 : corrigé 2. changé et rajout d’une remarque en fin de corrigé. exercice 55 : corrigé 1. souci de notations. exercice 66 : corrigé 3. second bloc k ̸= 0 changé en k ̸= 0. exercice 67 : corrigé troisième cas χA(X) changé en χM(X). exercice 72 : corrigé fonction nulle changée en endomorphisme nul (deux fois). exercice 93 : supprimé. Attention : par conséquent, la numérotation des exercices suivants est modifiée. exercice 100 (ancien exercice 101) : énoncé k changé en n. mise à jour du 08/01/15 : exercice 75 corrigé question 2. : vecteur ligne (2, −1) remplacé par vecteur colonne  2 −1  . exercice 94 corrigé : suppression du 3.c. exercice 101 énoncé : t=0 remplacé par t = 0, modification des espaces autour des guillemets. exercice 101 corrigé question 1. : rajout de "d’après la formule des probabilités totales". exercice 102 fin du corrigé : X n⩽1 remplacé par X n⩾1 . exercice 108 corrigé 1. : loi de Y : +∞ X i⩾0 1 2 i changée en X i⩾0 1 2 i . exercice 111 énoncé : p ∈]−1; 1[ remplacé par p ∈]0; 1[. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que (vn) est non nulle à partir d’un certain rang et un ∼ +∞vn. Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh  1 n  −tan  1 n  . Corrigé exercice 1 1. Par hypothèse, ∃N0 ∈N/∀n ∈N, n ⩾N0 = ⇒vn ̸= 0. Ainsi la suite un vn  est définie à partir du rang N0. De plus, comme un ∼ +∞vn, on a lim n→+∞ un vn = 1. Alors, ∀ε > 0, ∃N ∈N/N ⩾N0 et ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽ε. (1) Prenons ε = 1 2. Fixons un entier N vérifiant (1). Ainsi, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽1 2. C’est-à-dire, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒−1 2 ⩽un vn −1 ⩽1 2. On en déduit que ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn ⩾1 2. Et donc, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn > 0. Ce qui implique que un et vn sont de même signe à partir du rang N. 2. Au voisinage de +∞, sh( 1 n) = 1 n + 1 6n3 + o  1 n3  et tan 1 n = 1 n + 1 3n3 + o  1 n3  . Donc un ∼ +∞−1 6n3 . On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, un est négatif. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4 Banque épreuve orale de mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 08/01/15 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 On pose f(x) = 1 (x + 1)2(3 −x) . 1. Décomposer f(x) en éléments simples et en déduire la primitive G de f définie sur l’intervalle ] −1; 3[ telle que G(1) = 0. 2. Déterminer le développement en série entière en 0 de la fonction f et précisez le rayon de convergence. 3. Déduire de ce développement la valeur de G(3)(0). Corrigé exercice 2 On pose f(x) = 1 (x + 1)2(3 −x) . 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 1 16 × 1 x + 1 + 1 4 × 1 (x + 1)2 + 1 16 × 1 3 −x. Les primitives de f sur ]−1; +3[ sont donc les fonctions F définies par : F(x) = 1 16 ln x + 1 3 −x  −1 4 × 1 (x + 1) + C avec C ∈R. De plus, F(1) = 0 ⇐ ⇒C = 1 8. Donc, ∀x ∈]−1; 3[, G(x) = 1 16 ln x + 1 3 −x  −1 4 × 1 (x + 1) + 1 8. 2. D’après le cours, x 7− → 1 x + 1 et x 7− → 1 (x + 1)2 sont développables en série entière à l’origine. Le rayon de convergence de ces deux développements en série entière vaut 1. (1) On a ∀x ∈]−1, 1[, 1 1 + x = +∞ P n=0 (−1)nxn. Et, ∀x ∈]−1, 1[, 1 (1 + x)2 = +∞ P n=1 (−1)n+1nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent). Enfin, 1 3 −x = 1 3  1 −x 3 . Donc x 7− → 1 3 −x est développable en série entière à l’origine. Le rayon de son développement en série entière vaut 3. (2) Et, on a ∀x ∈]−3; 3[, 1 3 −x = 1 3 +∞ P n=0 xn 3n On en déduit que f est développable en série entière. On note R le rayon de convergence de ce développement en série entière. D’après (1) et (2), R ⩾1. Or lim x→−1 |f(x)| = +∞donc R ⩽1. Donc R = 1. Et ∀x ∈]−1; 1[, f(x) = 1 16 +∞ P n=0 (−1)nxn + 1 4 +∞ P n=0 (−1)n(n + 1)xn + 1 16 × 1 3 +∞ X n=0 xn 3n . C’est-à-dire ∀x ∈]−1; 1[, f(x) = +∞ X n=0 (−1)n 16 + (−1)n(n + uploads/Finance/ banque-2015.pdf

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  • Publié le Mar 11, 2022
  • Catégorie Business / Finance
  • Langue French
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