CONCOURS COMMUN INP FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 20

CONCOURS COMMUN INP FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2020 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller, M.-F. Lallemand, A. Lluel, O. Lopez, J.-P. Logé, S. Moinier, P.-L. Morien, S. Pellerin, V. Rayssiguier, S. Rigal, A. Rigny, A. Walbron et A. Warin 2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR Dernière mise à jour : le 09/10/19 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 Introduction L’épreuve orale de mathématiques du CCINP, filière MP, se déroule de la manière suivante : — 25mn de préparation sur table. — 25mn de passage à l’oral. Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices : — un exercice sur 8 points issu de la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr — un exercice sur 12 points. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2019 : — 58 exercices d’analyse ( exercice 1 à exercice 58). — 36 exercices d’algèbre (exercice 59 à exercice 94). — 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112). Dans l’optique d’aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d’année scolaire. Cela dit, il ne s’agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour plus de clarté, relevé d’éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d’exercices. Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d’année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.fr si une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour se trouvera en haut de chaque page. Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3. Remerciements à David DELAUNAY pour l’autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des exercices de l’ancienne banque, diffusés sur son site http://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : • A. Antibi, L. d’Estampes et interrogateurs, Banque d’exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT, 0701 (2013) 120 exercices. http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 • D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L’équipe des examinateurs de l’oral de mathématiques du CCINP, filière MP. Contact : Valérie BELLECAVE, coordonnatrice des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.com CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 MISES À JOUR : Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site du concours commun INP, en date du 20/05/19. mise à jour du 08/10/19 : Exercice 23 : énoncé 2. un point en trop à la fin de la question. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que (vn)n∈N est non nulle à partir d’un certain rang et un ∼ +∞vn. Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh  1 n  −tan  1 n  . Corrigé exercice 1 1. Par hypothèse, ∃N0 ∈N/∀n ∈N, n ⩾N0 = ⇒vn ̸= 0. Ainsi la suite un vn  est définie à partir du rang N0. De plus, comme un ∼ +∞vn, on a lim n→+∞ un vn = 1. Alors, ∀ε > 0, ∃N ∈N/N ⩾N0 et ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽ε. (1) Prenons ε = 1 2. Fixons un entier N vérifiant (1). Ainsi, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒ un vn −1 ⩽1 2. C’est-à-dire, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒−1 2 ⩽un vn −1 ⩽1 2. On en déduit que ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn ⩾1 2. Et donc, ∀n ∈N, n ⩾N = ⇒un vn > 0. Ce qui implique que un et vn sont de même signe à partir du rang N. 2. Au voisinage de +∞, sh( 1 n) = 1 n + 1 6n3 + o  1 n3  et tan 1 n = 1 n + 1 3n3 + o  1 n3  . Donc un ∼ +∞−1 6n3 . On en déduit, d’après 1., qu’à partir d’un certain rang, un est négatif. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 On pose f(x) = 3x + 7 (x + 1)2 . 1. Décomposer f(x) en éléments simples. 2. En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ]−r, r[ (où r > 0). Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité D de ce développement en série entière. 3. (a) Soit P anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ X n=0 anxn. Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, ap en fonction de g(p)(0). (b) En déduire le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. Corrigé exercice 2 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 3 x + 1 + 4 (x + 1)2 . 2. D’après le cours, x 7− → 1 x + 1 et x 7− → 1 (x + 1)2 sont développables en série entière à l’origine. De plus, on a ∀x ∈]−1, 1[, 1 1 + x = +∞ P n=0 (−1)nxn. Et, ∀x ∈]−1, 1[, 1 (1 + x)2 = +∞ P n=1 (−1)n+1nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent). On en déduit que f est développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en série entière. Et ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = 3 +∞ P n=0 (−1)nxn + 4 +∞ P n=0 (−1)n(n + 1)xn. C’est-à-dire : ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = +∞ X n=0 (4n + 7)(−1)nxn. Notons D le domaine de validité du développement en série entière de f. D’après ce qui précéde, ]−1, 1[ ⊂D. Notons R le rayon de convergence de la série entière X (4n + 7)(−1)nxn. D’après ce qui précéde R ⩾1. Posons, pour tout entier naturel n, an = (4n + 7)(−1)n. Pour x = 1 et x = −1, lim n→+∞|anxn| = +∞donc X (4n + 7)(−1)nxn diverge grossièrement. Donc R ⩽1, 1 ̸∈D et −1 ̸∈D. On en déduit que D = ]−1, 1[. 3. (a) Soit P anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ X n=0 anxn. D’après le cours, g est de classe C∞sur ]−R, R[. De plus, ∀x ∈]−R, R[, g′(x) = +∞ X n=1 nanxn−1 = +∞ X n=0 (n + 1)an+1xn g′′(x) = +∞ X n=1 n(n + 1)an+1xn−1 = +∞ X n=0 (n + 1)(n + 2)an+2xn. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 et, par récurrence, on a : ∀p ∈N, ∀x ∈]−R, R[, g(p)(x) = +∞ X n=0 (n + 1)(n + 2)...(n + p)an+pxn = +∞ X n=0 (n + p)! n! an+pxn. Ainsi, pour tout p ∈N, g(p)(0) = p!ap. C’est-à-dire, pour tout p ∈N, ap = g(p)(0) p! . (b) f est de classe C∞sur ]−1, 1[. Donc d’après la formule de Taylor-Young, au voisinage de 0, f(x) = 3 X p=0 f (p)(0) p! xp + o(x3). (*) Or, d’après 3.(a), pour tout entier p, f (p)(0) p! est aussi la valeur du pième coefficient du développement en série entière de f. Donc, d’après 2., pour tout entier p, f (p)(0) p! = (4p + 7)(−1)p. (**) Ainsi, d’après (*) et (**), au voisinage de 0, f(x) = 3 X p=0 (4p + 7)(−1)pxp + o(x3). C’est-à-dire, au voisinage de 0, f(x) = 7 −11x + 15x2 −19x3 + o(x3). CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 6 Banque épreuve orale de mathématiques session 2020, CCINP, filière MP Mise à jour : 09/10/19 EXERCICE 3 analyse Énoncé exercice 3 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = 1 1 + x. Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. 2. On pose f(x) = e2x 1 + x. En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée nième d’un produit uploads/Finance/ banque-2020-corriges-pdf.pdf

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  • Publié le Nov 06, 2021
  • Catégorie Business / Finance
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