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ELEMENTS DE CORRIGES DE TQG I-MATHEMATIQUES GENERALES (5Pts) ¿( −2 −1 4 3 ), I

ELEMENTS DE CORRIGES DE TQG I-MATHEMATIQUES GENERALES (5Pts) ¿( −2 −1 4 3 ), I 2=( 1 0 0 1) 1- A×( a b c d)=I 2⇒( −2 −1 4 3 )( a b c d)=( 1 0 0 1) ⇒( −2a−c −2b−d 4 a+3c 4 b+3d)=( 1 0 0 1) { −2a−c=1 −2b−d=0 4a+3c=0 4 b+3d=1 2- On résout séparément deux systèmes : { −2a−c=1 4a+3 c=0 et { −2b−d=0 4 b+3d=1 qui ont pour solutions : a=−3 2 ;c=2;b=−1 2 ;d=1. 3- A −1=( −3 2 −1 2 2 1 ) 4- En faisant les calculs, on a bien A −1× A=A × A −1=I 2. 5- Polynôme caractéristique de A. P (λ)=det ( A−λ I 2)=| −2−λ −1 4 3−λ|=λ 2−λ−2. 6- Valeurs propres et le vecteur propre associé à chacune des valeurs propres de A.  Valeurs propres : P (λ)=0⇒λ 2−λ−2=0 ⇒λ1=−1, λ2=2  Vecteurs propres : Pour λ1=−1, X1=( x1 x2) A X1=λ1 X1⇒( −2 −1 4 3 )( x1 x2)=−( x1 x2) ⇒{ −2 x1−x2=−x1 4 x1+3 x2=−x2 ⇒{ −x2=x1 4 x1=−4 x2 ⇒x1=−x2 Page 1 sur 5 Si on choisit x2=1⇒x1=−1⇒X1=( −1 1 ) Pour λ2=2, X2=( x3 x 4) A X2=λ2 X2⇒( −2 −1 4 3 )( x3 x4)=2( x3 x4) ⇒{ −2 x3−x4=2 x3 4 x3+3 x4=2 x4 ⇒{ −x4=4 x3 4 x3=−x4 ⇒x4=−4 x3 Si on choisit x3=2⇒x4=−8⇒X2=( 2 −8) II- STATISTIQUE ET PROBALITE (5pts) Exercice 1 : Probabilité A={6};B={2;4;6 }et C={3;4;5;6 } 1- P (A )=1 6 ; P (B)= 3 6=1 2 ; P (C)=4 6= 2 3 2- P¿ 3- P¿ 4- P (A )× P (B)=1 6 × 1 2= 1 12 ≠P (A ∩B )⇒A et B sont dépendants P (A )× P (C )=1 6 × 2 3=1 9 ≠P ( A∩C )⇒Aet C sont dépendants Exercice 2 : Statistique X [0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[ xi ni, . xi. ni, . xi 2. ni, . [0,4[ 1 1 2 2 4 8 [4,8[ 1 3 5 11 6 20 120 720 [8,12[ 2 10 10 28 10 50 500 5000 1 3 9 11 14 24 336 4704 Page 2 sur 5 [12,16[ [16,20[ 2 4 2 18 8 144 2592 yj 2 6 10 14 18 n.,j 4 15 20 52 13 yi. n.,j 8 90 200 728 234 yi 2. n.,j 16 540 2000 10192 4212 1- MoyenneX, de Y, 'écart-type de X et de Y. µ(X) = 1 104(4 + 120 + 500 + 336 + 144) = 10,61 µ(Y) = 1 104(8 + 90 + 200 + 728 + 234) = 12,11 Var(X) = 1 104(8 + 720 + 5000 + 4704 + 2592) – (10,61)2 = 12,66⇒σ ( X )=3,56 Var(Y)= 1 104(16+540+2000+10192+4212)–(12,11)2=16,42⇒σ (Y )=4,05 2- Distribution marginale des effectifs de X et Y. [0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[ X 2 20 50 24 8 Y 4 15 20 52 13 3- Covariance de X et de Yet coefficient de corrélation. Cov(X,Y) = µ(XY) − µ(X)µ(Y) µ(XY)= 1 104 (4+12+40+12+108+600+84+300+1000+420+360+924+3920+1764+1008+792+648)=115, Cov(X,Y) =115,69−10,61×12,11=−12,80 La valeur du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est alors : r (X ,Y )= Cov(X ,Y ) σ (X )×σ (Y )= −12,80 3,56×4,05=−0,89 III-MATHEMATIQUES FINANCIERES (5pts) 1-Calcul de l’annuité a=20 000 000 0,09 1−(1,09)−10(1,09)-2 a= 1 564 016F 2-Calcul du taux de l’emprunt Page 3 sur 5 1794980(1+i)2 = 2055070 1+i=1,07 i=0,07 t=7% 1er amortissement A1=1794980 0,07 A1=1 677 550 3- calcul du montant de l’emprunt 1er intérêt = 2517 550-1 677 550 I1= 84000 VO=840000 0,07 VO= 12 000 000F 4- Calcul de la durée 1 677 550 (1+i)n-1= 2352850 (1+i)n-1= 2352850 /1 677 550 (1+i)n-1= 1 ,40255134 n-1log1,07= log 1 ,40255134 n-1 =5 n=6 5- calcul de la durée et de l’annuité théorique  Taux réel Coupon = 12 000x0,1025 = 1230 Tr=1230 /12300 tr= 10% 1er amort (A1)= 48 671 000 Dernier amort (An)= 24600000 0,1 An= 246 000 000  Calcul de la durée 48 671 000 (1+i)n-1= 246 000 000 n=18ans IV- RECHERCHE OPERATIONNELLE 1- Quel nom donne-t-on à ce tableau ? Ce tableau prend le nom de l’échéancier. Page 4 sur 5 2- Tracer le réseau PERT relatif à ce tableau . 3- Déterminer le chemin critique. Le chemin critique est : B+E+G+I+J = 20+10+12+15+3= 60 Jours 4- Complétons le tableau : Tâches A B C D E F G H I J Marges libres (ML) 0 0 0 7 0 20 0 0 0 0 Marges totales (MT) 7 0 15 7 0 20 0 0 0 0 Page 5 sur 5 uploads/Finance/ cge-corriges-tqg-bts-2-2019.pdf