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LTCEAN Prof : A. SY Classe : TSTEG1 LES ANNUITES Les annuités représentent des

LTCEAN Prof : A. SY Classe : TSTEG1 LES ANNUITES Les annuités représentent des sommes d’argent payables à périodes régulières (années, semestres, trimestres, bimestres, mois) Les annuités peuvent être constantes ou variables. I. Formule de la valeur acquise La valeur acquise d’une suite d’annuités est la somme des valeurs acquises de ces annuités juste après le versement de la dernière annuité. 1.1. Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes a) Annuités constantes Etant donnée une suite de n annuités constantes égales à a capitalisées au taux i, la valeur acquise de la suite d’annuités est : Va=a(1+i) n−1+a(1+i) n−2+a(1+i) n−3+…+a C’est la somme des n termes d’une suite géométrique de 1er terme a et de raison (1+i). Soit Va=a×[ (1+i) n−1 i ] 1.2. Valeur acquise d’une suite d’annuités k périodes après le dernier versement Va=a×[ (1+i) n−1 i ](1+i) k Application 1 Une société place le 12 décembre de chaque année une somme de 10 000 000 F dans un compte bancaire rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 10%. Date premier versement : 12/12/2008 Date dernier versement : 12/12/2018 Calculer la valeur acquise de la suite d’annuités : le 12/12/2018 le 12/12/2022. b) Annuités variables Etant donnée une suite de n annuités a1,a2,a3,…an capitalisées au taux i, la valeur acquise de la suite d’annuités est : Va=a1(1+i) n−1+a2(1+i) n−2+a3(1+i) n−3+...+an Application 2 : Un particulier effectue dans un compte bancaire rémunéré au taux semestriel de 3,75% les versements suivants : Page 1 sur 3 LTCEAN Prof : A. SY Classe : TSTEG1 9 600 000 F le 04/05/2016, 13 500 000 F le 04/11/2016, 12 400 000 F le 04/05/2017, 10 000 000 F le 04/11/2017 II. Formule de la valeur à l’origine La valeur à l’origine ou valeur actuelle d’une suite d’annuités est la somme des valeurs actuelles de ces annuités une période avant le dernier versement. 1.1. Annuités constantes Etant donnée une suite de n annuités constantes égales à a capitalisées au taux i, la valeur actuelle ou valeur à l’origine de la suite d’annuités est : V 0=a(1+i) −1+a(1+i) −2+a(1+i) −3+…+a(1+i) −n C’est la somme des n termes d’une suite géométrique de 1er terme a(1+i)-1 et de raison (1+i) −1. Soit V 0=a×[ 1−(1+i) −n i ] Application 3 : Calculer la valeur actuelle de la suite d’annuités de l’application 1). 1.2. Annuités variables Etant donnée une suite de n annuités a1,a2,a3,…an actualisées au taux i, la valeur à l’origine de la suite d’annuités est : V 0=a1(1+i) −1+a2(1+i) −2+a3(1+i) −3+...+an(1+i) −n Application 4 Une suite d’annuités est constituée par les versements annuels successifs ci-après : 30 000 000 F, 44 000 000 F, 26 000 000 F, 18 000 000 F et 30 000 000 F. Calculer la valeur actuelle de la suite d’annuités au taux de 6%. Application 5 Une suite d’annuités est constituée de 6 annuités annuels de 1 200 000 F puis de 4 versements annuels de 1 500 000 F capitalisés au taux annuel de 8%. a) Calculer la valeur à l’origine puis en déduire la valeur acquise. b) Même question si le taux d’intérêt est passé à 9% juste après le 4ème versement III. Problèmes liés aux annuités Problème 1 (Placements) a) Une personne entreprend d’effectuer un placement de 1 000 000 F le 1er avril de chacune des années de 2003 à 2012 inclusivement. Ces placements devant Page 2 sur 3 LTCEAN Prof : A. SY Classe : TSTEG1 être productifs d’intérêts composés au taux annuel de 6%. De quelle somme espère-t-elle disposer le 1er avril 2017 ? b) Immédiatement après avoir effectué le placement du 1er avril 2008, la personne constate que le capital constitué ainsi que les placements futurs ne pourront plus désormais produire des intérêts composés qu’au taux annuel de 4% au lieu de 6%. Dans ces conditions, de quelle somme la personne disposera-t-elle le 1er avril 2017 ? c) Dans les conditions du b), la personne envisage d’effectuer des versements supplémentaires constants les 1er avril de chacune des années de 2013 à 2016 inclusivement de façon à obtenir le 1er avril 2017 la somme prévue en a). Déterminer le montant de chacun de ces versements. Problème 2 (Remplacement de dette) Cheikh Fall contracte un emprunt remboursable par 10 annuités constantes de 400 000 F au taux annuel de 10%. Juste après le 7ème remboursement, Cheikh Fall sollicite et obtient auprès de son créancier la faculté de rembourser le solde par 8 annuités constantes au taux annuel de 11,5%, la première 3 ans après le paiement de la 7ème annuité. Calculer le montant de la nouvelle annuité. Problème 3 (Synthèse) BNX est une SARL qui place dans un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 10% le 15 avril de chaque année une somme de 6 000 000 F. Premier placement : le 15/04/2000 Dernier placement : le 15/04/2010 1) Calculer le solde du compte : - le 15/04/2010, juste après le dernier placement - le 15/04/2014. Avec la somme disponible dans le compte le 15/04/2014, BNX compte réaliser un investissement dont la dépense s’élève à 200 000 000 F le 15/04/2014. 2) Quelle somme manquera-t-il à BNX pour pouvoir réaliser cet investissement ? Pour pouvoir compléter le financement, BNX contracte un emprunt exactement égal an montant manquant remboursable par un paiement unique de 48 855 671 F le 15/04/2017. 3) A quel taux l’emprunt a-t-il été contracté ? Les revenus susceptibles d’être générés par cet investissements seraient de : - 70 000 000 F le 15/04/2016 - 70 000 000 F le 15/04/2017 - 70 000 000 F le 15/04/2018 - 70 000 000 F le 15/04/2019 4) Compte tenu d’un taux d’actualisation annuel des revenus de 10,5%, l’investissement est-il opportun ? Page 3 sur 3 uploads/Finance/ chapitre-ii-annuites.pdf