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1,44 m A B 1 0 A N T 1 0 B 0,60 m 0,68 m G y x  J. FRAISSE 30/08/09 Mécaniqu

1,44 m A B 1 0 A N T 1 0 B 0,60 m 0,68 m G y x  J. FRAISSE 30/08/09 Mécanique - Modélisation des Actions Mécaniques page 0 TABLE DES MATIÈRES MODÉLISATION DES LIAISONS.............................................................................................................................................1 1 - DEGRÉS DE LIBERTÉ D’UN SOLIDE.........................................................................................................................................1 2 - LIAISONS ÉLÉMENTAIRES DE 2 SOLIDES.................................................................................................................................1 3 - MODÉLISATION D’UN MÉCANISME.........................................................................................................................................3 MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES.................................................................................................................4 1 - DÉFINITION D’UNE ACTION MÉCANIQUE (A.M.)...................................................................................................................4 2 - UNE A.M. PARTICULIÈRE : LA FORCE....................................................................................................................................5 3 - A.M. ASSIMILABLES À DES FORCES........................................................................................................................................6 4 - MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT À UN POINT................................................................................................................8 5 - MODÉLISATION D’UNE FORCE PAR UN TORSEUR..................................................................................................................10 6 - MODÉLISATION D’UNE A.M. QUELCONQUE PAR UN TORSEUR.............................................................................................11 7 - CHANGEMENT DU POINT DE RÉDUCTION D’UN TORSEUR.....................................................................................................12 8 - TORSEURS PARTICULIERS.....................................................................................................................................................12 9 - A.M. TRANSMISSIBLES PAR LES LIAISONS USUELLES...........................................................................................................13 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE..................................................................................................................16 1 - ISOLEMENT D’UN SYSTÈME MATÉRIEL.................................................................................................................................16 2 - EQUILIBRE D’UN SYSTÈME MATÉRIEL DANS UN REPÈRE GALILÉEN.....................................................................................16 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE...........................................................................................................................17 4 - CAS D’UN SYSTÈME SOUMIS À 2 OU 3 FORCES....................................................................................................................18 5 - SIMPLIFICATION PLANE........................................................................................................................................................20 6 - EQUILIBRE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE.......................................................................................................................21 7 - DÉMARCHE DE RÉSOLUTION D’UN PROBLÈME DE STATIQUE................................................................................................22 CINÉMATIQUE..........................................................................................................................................................................23 1 - TRAJECTOIRE, VITESSE, ACCÉLÉRATION...............................................................................................................................23 2 - MOUVEMENTS PLANS...........................................................................................................................................................25 3 - TORSEUR CINÉMATIQUE.......................................................................................................................................................27 ENERGÉTIQUE..........................................................................................................................................................................29 1 - L’ÉNERGIE............................................................................................................................................................................29 2 - LA PUISSANCE......................................................................................................................................................................29 3 - LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L’ÉNERGIE...............................................................................................................30 4 - RENDEMENT D’UN SYSTÈME................................................................................................................................................30 5 - TRAVAIL ET PUISSANCE D’UNE ACTION MÉCANIQUE............................................................................................................30 6 - LES DIFFÉRENTES FORMES DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE........................................................................................................32 7 - CONSERVATION DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE.........................................................................................................................33 8 - THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE..................................................................................................................................33 DYNAMIQUE..............................................................................................................................................................................34 1 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE (P.F.D.).........................................................................................................34 2 - P.F.D. APPLIQUÉ À UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION (RECTILIGNE OU CURVILIGNE)......................................34 3 - P.F.D. APPLIQUÉ À UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE DE SYMÉTRIE DE (S)....................35 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX............................................................................................................................................36 1 - HYPOTHÈSES DE LA R.D.M..................................................................................................................................................36 2 - TORSEUR DE COHÉSION D’UNE POUTRE...............................................................................................................................36 3 - CONTRAINTES LOCALES DANS LE MATÉRIAU.......................................................................................................................37 4 - CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES D’UN MATÉRIAU.............................................................................................................38 5 - TRACTION – COMPRESSION..................................................................................................................................................38 6 - CISAILLEMENT.....................................................................................................................................................................39 7 - TORSION...............................................................................................................................................................................39 8 - FLEXION...............................................................................................................................................................................40 MÉCANIQUE DES FLUIDES...................................................................................................................................................42 1 - HYPOTHÈSES........................................................................................................................................................................42 2 - STATIQUE DES FLUIDES (HYDROSTATIQUE)..........................................................................................................................42 3 - ECOULEMENT PERMANENT...................................................................................................................................................43 Modélisation des liaisons 1 - Degrés de liberté d’un solide y x z Rx Ry Rz Tx Ty Tz Un solide libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté (ou mobilités) : - 3 translations - 3 rotations Ces 6 degrés de liberté permettent au solide d’occuper n’importe quelle position dans l’espace. Si ce solide est une pièce d’un système mécanique (ex : aiguille d’une montre, roue d’une voiture, contact mobile d’un disjoncteur…) le nombre de ses degrés de liberté sera limité par les liaisons qu’il entretient avec les autres pièces du système. 2 - Liaisons élémentaires de 2 solides Les liaisons élémentaires sont les liaisons les plus courantes qui peuvent unir 2 pièces d’un mécanisme. On peut reconnaître une liaison élémentaire entre 2 solides : - en observant les mouvements possibles d’un solide par rapport à l’autre - en identifiant la nature des surfaces de contact entre les 2 solides. Pour que les mobilités de la liaison puissent être clairement définies, il faut les exprimer dans un repère qui possède une orientation particulière par rapport à la liaison. On les représente à l’aide de schémas normalisés (voir tableau ci-après) qui permettent de modéliser un mécanisme sous la forme d’un schéma cinématique (comme on modélise un circuit électrique par un schéma électrique). Une liaison élémentaire peut être obtenue par association d’autres liaisons élémentaires (ex : glissière d’un étau réalisée par 2 pivots glissants). Toute liaison élémentaire peut-être obtenue par association de liaisons ponctuelles. J. FRAISSE 30/08/09 Mécanique - Modélisation des Actions Mécaniques page 1 Nature de la liaison et position par rapport au repère Schématisation spatiale Schématisation plane Mouvements possibles dans le repère donné Encastrement  x  z  y A 2 1 A  x  y 0 0 0 0 0 0 Glissière d'axe (A,  x )  z  y  x A 1 2  x A  y y  A z  Tx 0 0 0 0 0 Pivot d'axe (A,  z )  y  z  x A 2 1 z  A y   y  x A 0 0 0 0 0 Rz Pivot glissant d'axe (A,  x )  y  x  z A 1 2  x A z  z  y  A Tx 0 0 Rx 0 0 Hélicoïdale d'axe (A,  x )  y  x  z A 1 2  x A z  z  y  A combinés Tx 0 0 Rx 0 0 Rotule de centre A  z  y  x A 1 2  x  y A 0 0 0 Rx Ry Rz Linéaire annulaire de centre A et d'axe (A,  y ) A  x  z  y 1 2  y  x A z   x A 0 Ty 0 Rx Ry Rz Appui plan de normale (A,  y )  y A  z  x 2 1  x A  y Tx 0 Tz 0 Ry 0 Linéaire rectiligne de normale (A,  y ) et de droite de contact (A,  x )  x X  y  z A 2 1  x A  y z  y  Tx 0 Tz Rx Ry 0 Ponctuelle de normale (A,  x )  x  y  z A 1 2  y A  x 0 Ty Tz Rx Ry Rz J. FRAISSE 30/08/09 Mécanique - Modélisation des Actions Mécaniques page 2 3 - Modélisation d’un mécanisme  But de la modélisation : la modélisation consiste à représenter un mécanisme de façon simplifiée afin d’étudier son comportement mécanique.  Méthode générale pour modéliser un mécanisme : Etapes Conseils Exemple du serre-joint 1°) Repérer quels sont les différents groupes cinématiques (ou sous- ensembles cinématiquement liés ou encore classes d’équivalence). Repérer les liaisons encastrement puis colorier d’une même couleur toutes le pièces liées entre elles. Lister les pièces composant chacun des groupes : A = { 1, 3, …} B = { 2,5, …} A B C D x y 2°) Identifier la nature des liaisons existant entre les groupes pour réaliser le graphe des liaisons. Pour reconnaître une liaison entre 2 groupes : - observer les mobilités possibles entre ces 2 groupes sans tenir compte des mobilités supprimées par des liaisons avec d’autres groupes. - identifier la nature de la surface de contact entre les 2 groupes A B C D glissière hélicoïdale rotule 3°) Etablir le schéma cinématique du mécanisme en utilisant la représentation normalisée des liaisons. Il est inutile de respecter les dimensions. Par contre il faut absolument respecter la position relative et l’orientation des liaisons. A B C D y x 4°) Résoudre un problème technique en appliquant les lois de la mécanique. ça c’est pour plus tard … Ex : connaissant l’effort de serrage exercé par le patin « D » sur la pièce à serrer, on désire connaître l’effort exercé par le coulisseau « B » sur le mors fixe « A ». J. FRAISSE 30/08/09 Mécanique - Modélisation des Actions Mécaniques page 3 Modélisation des Actions Mécaniques 1 - Définition d’une Action Mécanique (A.M.) Une A.M. est un phénomène physique capable de : créer un déplacement maintenir un corps en équilibre déformer un corps On distingue : - Les A.M. de contact ou surfaciques, exercées par un solide sur un autre solide par l’intermédiaire de leur surface de contact. - Les A.M. à distance ou volumique, qui s’exercent sur tous les éléments de volume du solide sans qu’il y ait besoin de contact (ex : action de la pesanteur, forces magnétiques). Remarque importante : Si un système 1 exerce sur un système 2 une A.M., alors le système 2 exerce sur le système 1 une A.M. exactement opposée. C’est ce que l’on appelle le principe des actions réciproques ou la troisième loi de Newton. Ex : une balle de tennis exerce sur la raquette une A.M. exactement opposée à celle qu‘exerce la raquette sur la balle. J. FRAISSE 30/08/09 Mécanique - Modélisation des Actions Mécaniques page 4 2 - Une A.M. particulière : la Force 2.1 Définition Une force est l’action qu’exerce un solide sur un autre solide lorsqu’ils sont en liaison ponctuelle. Solide 1 Solide 2 Plan tangent au contact entre les 2 solides A A12 2.2 Caractéristiques La force est définie par :  un point d’application : le point de contact entre les 2 solides (ici le point A)  une direction : normale (=perpendiculaire) au plan tangent au contact.  un sens : du solide 1 vers le solide 2 s’il s’agit de l’A.M. de 1 sur 2.  une intensité exprimée en Newton (N) 2.3 Modèle mathématique Le modèle mathématique de la force est le vecteur lié ou pointeur, c’est à dire un vecteur auquel on associe un point origine. uploads/Finance/ cours-de-mecanique.pdf