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Devoir Maison 3 : Vecteurs Exercice 1 : Autour d’un triangle En math´ ematiques

Devoir Maison 3 : Vecteurs Exercice 1 : Autour d’un triangle En math´ ematiques, une conjecture est une proposition pour laquelle on ne connaˆ ıt pas encore de d´ emonstration, mais que l’on croit fortement ˆ etre vraie. (Wikip´ edia). Soient T, R et I trois points non align´ es. Les points U et V sont d´ eﬁnis par : − → IU = − → IR + − → TI − → TV = − → TI + − → TR 1) Faire une ﬁgure sur papier ou ` a l’aide d’un logiciel de g´ eom´ etrie dynamique (g´ eog´ ebra). 2) Que peut-on conjecturer? 3) D´ emontrer grˆ ace ` a la relation de Chaslesque − − → UV = − → RI + − → IT + − → TR. 4) Prouver votre conjecture. Exercice 2 : Encore un triangle Soient T, R et I trois points non align´ es. On d´ eﬁnit les points A, B et C par : − → IA = − → RT −− → IT − → IB = − → TI − → IC = − → RT + − → RI 1) Faire une ﬁgure sur papier ou ` a l’aide d’un logiciel de g´ eom´ etrie dynamique (g´ eog´ ebra). 2) Que peut-on conjecturer? 3) D´ emontrer grˆ ace ` a la relation de Chasles que − → AC = − → IC −− → IA et − − → BA = − → IA −− → IB. 4) En d´ eduire une expression des vecteurs − − → BA et − → AC en fonction de − → RT puis prouver votre conjecture de la question 2). Exerice 3 : Coordonn´ ees et distance Exercice 4 : Addition de vecteur et somme des forces L’action de trois forces sur un objet est mod´ elis´ ee par l’action des trois vecteurs appliqu´ ee sur le point G qui repr´ esente le centre de gravit´ e. 1)Recopier sur un quadrillage la ﬁgure ci-dessous. 2) Rajouter une force, c’est-` a-dire un vecteur d’origine G (vous pouvez l’appeler − − → GD), de telle sorte que la somme des forces soit ´ egale au vecteur nul. L’objet est ainsi en ´ equilibre. Vous laisserez vos traits de construction en ´ evidence sur le dessin. 3) On suppose maintenant que G a pour coordonn´ ee G(2;2). 1) D´ eterminer les coordonn´ ees de − − → GB − − → GC et − → GA 2) D´ eterminer par le calcul x et y, les coordonn´ ees de F(x; y) tel que − − → GB + − → GA + − − → GC + − − → GF = − → FA Exercice 5 : Un rep` ere diﬀ´ erent ABC est un triangle et I,J et K sont les milieux respectifs des cˆ ot´ es [AB], [BC] et [AC]. 1) Faire une ﬁgure. 2) On veut d´ emontrer que AIJK est un parall´ elogramme. Pour cela on se place dans le rep` ere (A,− − → AB, − → AC). D´ eterminer les coordonn´ ees des vecteurs − − → AB, − → AC, − → AI, − − → AK dans ce rep` ere. 3) D´ eterminer les coordonn´ ees de C et B dans ce rep` ere et en d´ eduire les coordonn´ ees de J dans ce rep` ere. 4) Avec les r´ esultats de la question 3) d´ eterminer les coordonn´ ees de − → AJ dans ce rep` ere. 5) Prouver que − → AI + − − → AK = − → AJ. Expliquer pourquoi on peut conclure que AIJK est un parall´ elogramme. 6) En d´ eduire que − − → AK + − → JI = − → 0 7) D´ emontrer que − → AJ + − − → BK + − → CI = − → 0 uploads/Finance/ devoir-maison-vecteurs-seconde.pdf