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CONCOURS SPÉCIAL T' 1996 lkre épreuve 1/6 179 EPREUVE de MATHÉMATIQUES 1 SEsSio

CONCOURS SPÉCIAL T' 1996 lkre épreuve 1/6 179 EPREUVE de MATHÉMATIQUES 1 SEsSioN bE 4996 Durée : 4 heures - Coefficient ; 6 L'usage des calculatrices programmables et alphanumériques est autorisé sous réserve des dispositions déjînies dans la circulaire no 86-228 du 28juillet 1986. II est rappelé aux candidars qui'l sera lenu compte de la présentation et de la rédaction des copies. On désigne par c l'espace vectoriel des applications continues f~c-périod~ques de R dans C que l'on munit de la nonne : N , : f H sup I f ( f ) \ o<r 52 II 1 7 1 - On rappelle que 1' application (f, g) H (f 18) = : -I f ( t ) g(t) df est un produit scalaire hennitien sur c 2 1 K - K 1 Z 2x -1c et l'on note f H hi2 (f) la norme hennitienne associée. On pose enfin pour tout f E et N I (f) = - If(t)ldt . Pour tout Clément k de 2, on note ek la fonction t H elkt. On désigne par P le sous-espace vectoriel de c engendre par les fonctions ek, où k décrit 2 ; les Cléments de P sont les polynômes trigonométriques. On note P , le sousespace vectoriel engendré par les fonctions ek où IklS n . Pour tout élément fde c et tout k E Z , on note Ck (f) = (ek If) le kitme coefficient de Fourier de f et, pour tout n E N , on note S,(f) la nitme somme partielle de la série de Fourier def définie par Sn(f) = z c k (J)ek m k 0-71 L'objet du problème est détudm des procédés d'approximation tant du point de vue qualitanf que quantitatif des fonctions continues ou lipschmiennes par des polynômes trigonométriques. Les deux dernières parties utilisent les résultats obtenus pour résoudre deux problèmes l'un de nature algébrique, l'autre de nature géométrique. L Exemples de polynômes trigonométriques. 1. Noyau de Dirichlet. n Pour tout entier naturel n, on pose : a . Établir que pour tout n E N et tout t réel, D, = x e k k=-n 180 CONCOURS SPÉCIAL T' 1996 litre épreuve 2/6 sin(n + l)f t b. Soit n entier naturel. Montrer que la fonction f , , : f H D, ( t ) - 2 se prolonge en une fonction continue sur le segment [O, 7c] Montrer que fn ( t ) peut s'écnre sous la forme l I l 2 sin(2n + 1) - sin(n + 1)r - - sin - 1 . 1 + sin(n+l)t f n 1 sin - - sin - 2 2 2 et en déduire qu'il existe A 4 réel tel que, pour n E N et f €30, x ] , 1 1 , (f)( I A 4 . Établir enfin que, pour tout entier naturel n, où (un est une suite bornée. c. Montrer que, pour tout n E N , joK Isinq + 1)tl sint dt d f = c / - O r+kx & =O En utilisant l'égalité I K -dt=I sint - sint df +fk(---)sintdf, 1 1 O t + h O ( k + l ) x t + k x ( k + l ) x en déduire que, p o u r tout n E N , iOx [sin(;+ 1)tl 2 n+l 1 k dt =-C -+v, Ic k=l ou (v,,),,>o est une suite bornée. d. Prouver finalement que, pour tout n E N , 4 Nl (0,) = -ln(n + 1 ) +rn 2 où (r,,) est une suite bornée. 2. Noyau de Féjer. a . Pour tout n E N et tout k E z , établir que C&(Kn) = 1 - - lkl si lklsn, 0 sinon. n + l En déduire que CONCOURS SPÉCIAL T' 1996 lère épreuve 3/6 181 b. Pour tout n E N et tout f E R, établir que 2 sin@ + 1) - K n ( f ) zL[ , '1 sir E RVxZ, n+l si f E 2xZ. n + l sin- En conclure que, pour n E N , K, est un polynôme trigonométrique pair a valeurs positives. c. Prouver que tout n E N , N , (K,) = 1 . Établir que pour O < (r I IT, lim 1" K, (t)dt = O . n-w- u II. Convolution des fonctions périodiques. 1. Soit f E c . Prouver que pour tout nombre réel a, 2. Montrer que pour tout couple ( 1 ; g), d'élément de c, la fonction f * g définie sur R par la formule appartient a C. Védierque g * f = / * g . Prouver queAr,( f * g ) 5 N,(g)iV,(f). 3. Soit f E C . ÉtabIir que pour tout k E 2 , f*ek = ck ( f ) e k . En déduire pour tout n E N et tout P E P , que f * P E P , , . En particulier, v6rifier que f * O,, = &(f) . 4. Approximation des fonctions continues par la méthode de Féjer. Soit f un élément de C. a . Montrer que pour tout n E N et tout x E R , b. Établir que pour a E )O,x], c À l'aide de L2.c), montrer que lim N , ( f - f * K,,) = O . n+t- d. Applications : (i) Prouver que la fonctionfest nulle s i et seulement si ck (f) = O pour tout k E Z . 182 CONCOURS SPÉCIAL T’ 1996 lère épreuve 4/6 (ii) Pour tout n E N , montrer que N2 (f - S,(f)) 5 (f - f * K,) En déduire que lim N , (f - Sn (1)) = O n++= 2 En écrivant que ( N 2 (Y))’ = (N2 (f - S, (JI)) +(.\-2 (S, prouver que n En conclure que pour tout couple g) d’elément de c , 5. Approsimation des fonctions lipschitziennes. Soit f E c lipschitzienne dans le rapport A(/). a . Montrer que pour tout n E N , N , ( f - f * K,) I h ( f ) IontK, (t)dt . x se prolonge en fonction continue sur le segment U b. Vérifier que la fonction u H - sin u Soit m sa borne supérieure sur ce segment. Montrer que pour tout n E N , 4m2 e ! E 2 x sin y ~otKn(t)dt I -j - dY. n + l O Y En écrivant par exemple que conclure qu’il existe un nombre réel p tel que pour tout n 2 1 et tout f E e lipschitzienne, c . Applications. Soit n E N . Montrer que pour P E P , , , f - s n (f) = (f - 0 +(P-f) *on. En déduire que pour n 2 1, Que peut-on en conclure ? 6 . Approximation des fonctions holdériennes. Soit f E c . On suppose qu’il existe y E ] O , l ( et h(J) réel tel que pour tout couple (s, t) de nombres réels, If<s>-f<t>l 5 4 f ) I s - t l Y . a . Exemple. Montrer que la fonction 2n-périodique paire qui coïncide sur [O, x ] avec la fonction t H fi vdrifie une condition de ce t y p e . CONCOURS SPÉCIAL T' 1996 183 lère épreuve 5 / 6 b. Montrer par un procédé analogue a celui de 11.5) que pour tout n E N , En déduire qu'il existe un réel p ' ( y ) tel que : A ' - ( f - f *Al,) I ~ A ( f ) (n + 117 Conclure III. Convolutions et translations. 1. Soientfet g deus eléments de c. Montrer que pour tout k E 2 , ck (f * g ) = ck ( f k k ( g ) . En déduire que la loi ( J , g) H f * g est associative. Cette loi possède-telle un élément neutre ? a . Pour tout a E R , on note Cpo la translatée de Cp définie par Qu (t) = Q(t - a ) . Vérifier que, pour tout b. On note Eg le sousespace vectoriel de c engendre par les translatées Qu de Q lorsque a parcourt R. Montrer que pour tout J E c et tout E =- O, il existe y E Eg tel que N , (f * 4- w) 5 E. (On pourra approcher l'intégrale fonction ( x , t ) H f ( r ) Q ( x - t ) est uniformément continue sur R X[-x,x]). IF J(t)Q(x-t)dt par une somme de Riemann en observant que la J-, c On note T# l'application de e dans lui-même ainsi définie : T,(f) = f * Q. (il Vérifier que T, est un endomorphisme de e. Déterminer les valeurs propres de Tg, Montrer que uploads/Finance/ epreuve-de-mathematiques-1-duree-heures-coefficient.pdf