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Étude de modèles mathématiques des condensats de Bose-Einstein pour diﬀérents t

Étude de modèles mathématiques des condensats de Bose-Einstein pour diﬀérents types de pièges et d’interactions THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE VERSAILLES-SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES Présentée par : Jimena ROYO-LETELIER Pour obtenir le grade de docteur de l’Université de Versailles Soutenue le 10 juin 2013, devant le jury composé de : Amandine AFTALION Dorin BUCUR María J. ESTEBAN Bernard HELFFER Etienne SANDIER Susanna TERRACINI Directrice de thèse Rapporteur Examinatrice Directeur de thèse Rapporteur Examinatrice 2 3 Résumé Cette thèse porte sur l’étude mathématique de modèles théoriques des condensats de Bose-Einstein. On considère la fonctionnelle d’énergie de Gross-Pitaevskii pour diﬀérents types de piégeages et d’interactions. On étudie des modèles de condensats à deux dimensions déﬁnis sur tout l’espace, en rotation et à plusieurs composants, ainsi qu’un modèle décrivant une particule chargée dans un milieu périodique bi- dimensionnel avec champ magnétique. Les outils mathématiques utilisés sont les équations aux dérivées partielles, l’analyse non linéaire, la théorie géométrique de la mesure, la théorie spectrale et l’analyse semi-classique. Les résultats principaux vont dans quatre directions. Le premier résultat établit la non existence de vortex dans la zone de faible densité d’un condensat en rotation sous-critique. Le deuxième résultat montre la brisure de symétrie et de la ségrégation d’un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et faible interaction. On résout aussi un problème de partition optimale spectrale associée à un opérateur de Schrödinger dans le plan. On introduit un nouveau modèle de minimisation du périmètre pour l’étude d’un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et forte interaction. Le troisième résultat concerne la Γ-convergence de la fonctionnelle d’énergie d’un condensat à deux composants dans ce dernier régime. On montre aussi la brisure de symétrie d’un condensat à deux composants dans le régime de fort couplage et forte interaction. Le dernier résultat traite du spectre d’un opérateur de Schrödinger périodique magnétique dans un réseau de kagome. Abstract This PhD thesis is devoted to the mathematical study of theoretical models for Bose-Einstein condensates. We consider the Gross-Pitaevskii functional for several types of trapping potentials and interactions. We analyze models for two-dimensional condensates deﬁned over all R2, under rotation and with several components. We also analyze a model for a charged particle in a two-dimensional periodic me- dia under magnetic ﬁeld. The mathematical tools employed are partial diﬀeren- tial equations, nonlinear analysis, geometric measure theory, spectral theory and semi-classical analysis. The are four main results. The ﬁrst one establishes the non existence of vortex in the low density zone of a condensate under subcritical ro- tation. The second result proves the segregation and the symmetry breaking of a two-component condensate in the strongly coupled and weakly interacting regime. We also solve an optimal partition problem associated with a Schrödinger operator in R2. We introduce a new minimal perimeter model for the study of two-component condensate in the strongly coupled and strongly interacting regime. The third result is about the Γ-convergence of the energy functional of a two-component condensate in this last regime. We also show the symmetry breaking of a two-component conden- sate in the strongly coupled and strongly interacting regime. The last result concerns the spectrum of a magnetic periodical Schrödinger operator on the kagome lattice. 4 5 A Emilie A ma famille ¡M« as vale ser punky ! 6 7 ENIVREZ-VOUS Il faut être toujours ivre. Tout est là : c’est l’unique question. Pour ne pas sentir l’horrible fardeau du Temps qui brise vos épaules et vous penche vers la terre, il faut vous enivrer sans trêve. Mais de quoi ? De vin, de poésie ou de vertu 1, à votre guise. Mais enivrez-vous. Et si quelquefois, sur les marches d’un palais, sur l’herbe verte d’un fossé, dans la solitude morne de votre chambre, vous vous réveillez, l’ivresse déjà diminuée ou disparue, demandez au vent, à la vague, à l’étoile, à l’oiseau, à l’horloge, à tout ce qui fuit, à tout ce qui gémit, à tout ce qui roule, à tout ce qui chante, à tout ce qui parle, demandez quelle heure il est, et le vent, la vague, l’étoile, l’oiseau, l’horloge, vous répondront : « Il est l’heure de s’enivrer ! Pour n’être pas les esclaves martyrisés du Temps, enivrez-vous ; enivrez-vous sans cesse ! De vin, de poésie ou de vertu, à votre guise. » Charles Baudelaire Le Spleen de Paris, XXXIII 1. ou de mathématiques ! 8 9 Remerciements Je voudrais remercier mes directeurs, Amandine Aftalion et Bernard Helﬀer, d’avoir dirigé ma thèse et guidé mes premiers pas dans le monde de la recherche. Je leur suis reconnaissante par les très beaux et passionnants sujets de recherche qu’ils m’ont proposés. Travailler avec eux a toujours été enrichissant pour moi et je tiens à les remercier tous les deux pour leur très grande disponibilité. Je remercie Amandine pour les nombreuses opportunités qu’elle m’a permis d’avoir et en particulier pour m’avoir fait connaître la physique des condensats de Bose-Einstein. Je tiens à lui exprimer ma gratitude pour sa conﬁance et ses encouragements. Je remercie Bernard pour son inﬁnie patience et sa cordialité et pour avoir partagé avec moi son immense savoir mathématique. Je tiens à le remercier pour m’avoir encouragée pendant la ﬁn de ma thèse et pour m’avoir accueillie chez lui à Nantes à plusieurs reprises pendant cette période. Je remercie très sincèrement Dorin Bucur et Etienne Sandier de m’avoir fait l’hon- neur de rapporter cette thèse. C’est un grand plaisir pour moi de les avoir dans mon jury. Je suis également très honorée que María Esteban et Susanna Terracini aient accepté de faire partie de mon jury. Je remercie chaleureusement Susanna pour l’intérêt qu’elle a porté à mes travaux et pour les nombreuses discussions que nous avons partagées. Au cours de ma thèse j’ai eu l’opportunité de visiter Robert L. Jerrard à l’Univer- sity of Toronto. Je le remercie pour cette invitation et pour son hospitalité ainsi que pour l’intérêt qu’il a porté à mes travaux et pour son soutien. J’ai beaucoup proﬁté de cette expérience et des discussions mathématiques avec Robert. Aussi, j’ai eu la chance d’être accueillie en visite au Departamento de Física de la Pontiﬁcia Universidad Católica de Chile. Je remercie Rafael Benguria pour cette invitation et son accueil chaleureux, ainsi que pour son intérêt pour mon travail et son soutien. Ça a été très enrichissant de discuter avec les physiciens du Departamento. Merci également à Robert Seiringer pour son invitation au Department of Mathematics and Statistics de McGill University. Je suis reconnaissante aussi envers les personnes qui ont partagé leur savoir ma- thématique et/ou physique avec moi de façon plus au moins informelle. La beauté des théorèmes mathématiques prend tout son sens lorsqu’on s’aperçoit qu’ils sont le fruit des échanges et discussions d’une communauté de gens qui aiment parta- ger leurs connaissances de façon désintéressée. Je tiens à remercier tous les amis et collègues avec qui j’ai pu échanger des idées mathématiques ces dernières années, spécialement à Chico, Coni, Michael et Peter. Je remercie aussi Guy Bouchitté, Juan Dávila, Manuel del Pino, Clément Gallo, Duván Henao, Loïc Le Treust, Peter Ma- son, Benedetta Noris, Philippe Kerdelhue, Dominique Spehner et Juncheng Wei. 10 Pendant la dernière année j’ai été lauréate de la bourse Bourses L’Oréal-France - UNESCO « Pour les Femmes et la Science ». Je remercie ces institutions pour cette récompense, qui m’a permis de ﬁnir ma thèse dans des conditions confortables, ainsi que d’organiser une rencontre entre jeunes chercheurs en mathématiques et en phy- sique. Je remercie aussi tous les orateurs et à l’Institut Henri Poincaré pour avoir accueilli cette rencontre. Ce mémoire marque la ﬁn de ma thèse de doctorat, mais il représente aussi l’abou- tissement des dix années d’études. Je me permets donc de proﬁter de cet espace pour remercier tous ceux qui ont participé à mon éducation. Tout premièrement à ma famille, à qui je dédie des mots un peu plus loin. Je remercie vivement les profs de nombreux lycées que j’ai fréquentés qui ont su voir en moi un peu plus qu’une adolescente révoltée et qui ont cru en moi. J’ai une pensée toute particulière pour Hugo Cepeda, j’espère pouvoir lui faire parvenir ce mémoire de thèse où qu’il soit. Je remercie aussi mes profs à Las Palmeras de la Facultad des Ciencias de l’Uni- versidad de Chile. Ils m’ont montré pour la première fois l’harmonie et l’élégance des mathématiques et de la physique et m’ont encouragée à suivre la voie de la recherche. Je remercie notamment Andrés Navas pour son amitié et son soutien. Je pense à mes camarades de Las Palmeras avec qui j’ai eu le plaisir de partager des discussions mêlant sciences, philosophie et art, le tout dans les agréables et vertes pelouses du Campus Juan Gomez Millas. Merci à Gabriel et Ernesto avec qui je continue ces motivantes conversations en France. Je suis heureuse d’avoir commencé mes études à l’Universidad de Chile, pour laquelle j’ai une aﬀection particulière de- puis mes premiers pas (littéralement !) à Antumapu. J’espère avec tout mon coeur que la suite des uploads/Finance/ etude-de-modeles-mathematiques-des-condensats-de-bose-einstein-pour-differents-types-de-pieges-et-d-x27-interactions-jimena-royo-letelier.pdf