Institut de Financement du Développement du Maghreb CONCOURS DE RECRUTEMENT DE
Institut de Financement du Développement du Maghreb CONCOURS DE RECRUTEMENT DE LA XXIVème PROMOTION ***** Lundi 12 juillet 2004 ***** Epreuve de Méthodes Quantitatives Durée : 1h30 Nombre de pages : 4 (y compris page de garde et table de student) Coefficient : 1 1 Exercice 1 : (10 points :1 point par question) Considérons n variables aléatoires indépendantes y1,..., yn ayant pour es- pérance mathématique m et variance σ2: Eyi = m V yi = σ2 pour i = 1, ...n On note yn = 1 n n P i=1 yi et S2 = 1 n n P i=1 (yi −yn)2 1. Calculer Eyn et V yn 2. (a) Exprimer yn en fonction yn−1 et de yn (b) Déterminer la covariance entre yn et yn−1 (c) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre yn−1 et yn (d) Interpréter ce dernier résultat. 3. (a) Trouver un minorant pour P[−α ≤yn −m ≤α], pour un scalaire positif α. (b) En déduire la limite en probabilité de yn quand n →+∞. 4. (a) Prouver que l’on a : nS2 = n X i=1 (yi −m)2 −n (yn −m)2 (b) En admettant que yi sont des lois normales, prouver que nS2 σ2 est la différence de deux lois de Khi-Deux dont il faut préciser les degrès de liberté. (c) En admettant que yn et n P i=1 (yi −m)2 sont indépendantes, en déduire la loi de nS2 σ2 . Exercice 2 : (10 points :1 point par question) Sur une période de dix ans, on dispose des informations sur l’épargne (Et), mesurée en millions de dinars et le taux d’intérêt (Rt) mesuré en pourcentage. Ces informations sont résumées comme suit : 10 X t=1 Et = 435, 10 X t=1 Rt = 43.5, 10 X t=1 E2 t = 20775, 10 X t=1 R2 t = 215.25 et 10 X t=1 EtRt = 2106.5 2 On se propose d’estimer une relation linéaire définie par : Et = α + βRt + t, t = 1, · · · , 10 (1) avec α et β des paramètres à estimer; t, t = 1, · · · , 10 sont des termes aléatoires identiquement et indépendemment distribués d’espérance mathématique zéro et de variance σ2. On suppose que ces termes suivent la loi normale. 1. (a) Interpréter les coefficients α et β. Quels sont les signes attendus de ces paramètres? (b) Quelle interprétation économique peut-on donner au terme d’erreur t? 2. Estimer les paramètres α et β par la méthode des moindres carrés ordi- naires. 3. Calculer la valeur numérique de l’estimateur sans biais de la variance des termes d’erreurs. 4. (a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire simple entre les deux variables E et R. (b) En déduire le coefficient de détermination. 5. Tester la significativité de l’effet de la variable Rt sur Et, au seuil de 5%. 6. Pour l’année 11, le taux d’intérêt observé est de 4. Construire un intervalle de prévision pour l’épargne de l’année correspondante, au niveau de 95%. 7. (a) En admettant que le vrai modèle est celui défini par l’équation (1), montrer que l’estimation du modèle sans le terme constant (α) con- duit à un estimateur biaisé de β. (b) En déduire la variance de ce dernier estimateur. 3 uploads/Finance/ examen-methode-quantitative-ifid-2004-24-eme-promotion.pdf
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- Publié le Jan 03, 2022
- Catégorie Business / Finance
- Langue French
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