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RDM Mohamed Wissem LANDOLSI Page 1 sur 2 www.conceptec.tk www.conceptec.net Exercice : Torsion – Flexion : Un dispositif de levage est constitué d’un tambour (4) lié à l’arbre (3) actionné par un moto – réducteur (1). Lorsque le tambour tourne, le câble (6) s’enroule dans une rainure hélicoïdale et la charge s’élève. L’arbre (3) est guidé dans les cadres (2) et (5) par deux roulements. On donne : • Diamètre du tambour: D 160 mm. • Charge soulevée || P r || = 2000 N ; || A r || = || D r || = || P r || / 2. A r : est la réaction de la liaison au point A D r : est la réaction de la liaison au point D • Couple moteur: C r m = - 150 x r (en N.m). • Résistance pratique de l’acier de (3) Rpe= 150 MPa et Rpg = 75 MPa (donc λ = 0,5). On suppose que les poids des éléments négligés devant la charge. • Le roulement en A, qui assure le positionnement est modélisé par une liaison rotule. Le roulement en D monté coulissant dans son alésage est modélisé par une liaison sphère - cylindre. • L’action du moteur électrique (1) sur l’arbre (3) est modélisée par un torseur – couple : {Cm}A = {0 r , -150 x r } • AB = CD = 70 mm ; BC = 160 L’arbre (3) est donc sollicité à des efforts qu’il doit réellement y résister et assurer sa fonction de transmission de mouvement sans se détériorer ( ce là signifie que l’arbre peut, sous certaines condition vibratoires subir une déformation élastique mais il ne doit pas subir une déformation plastique). Pour cela, il faut déterminer le diamètre minimal pour ce matériau qui peut remplir cette fonction Démarche de calcul : 1- Déterminer le torseur de cohésion le long de [AB] 2- Déterminer le type de sollicitation 3- Représenter le diagramme des moments entre A et B 4- Calculer le moment de flexion idéal 5- Déterminer la contrainte maximale normale 6- Ecrire la condition de résistance Corrigé : 1- Détermination du torseur de cohésion sur [AB]: Soit G un point situé entre A et B. le torseur de cohésion est le torseur des efforts extérieurs à gauche de G (à un signe moins prés) Donc : {Coh}G = - ({Cm}G + {A}G) Avec : - {A}G le torseur des actions mécaniques appliquées en A et exprimé en G (Le moment est déplacé à G : Voir formule de transport des moments) - {Cm}G le torseur des actions mécaniques appliquées par le moteur et exprimé en G {Cm}G = {0 r , -150 x r } et {A}G = {1000 y s , -1000 x z r } avec x l’abscisse de G sur l’axe de l’arbre Donc : RDM Mohamed Wissem LANDOLSI Page 2 sur 2 www.conceptec.tk www.conceptec.net {Coh}G = - ({0 r , -150 x r } + {1000 y r , -1000 x z r }) = {-1000 y r , 150 x r +1000 x. z r } Donc {Coh}G = G x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − 1000 0 150 0 1000 0 = G f t y M M T ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ 0 0 0 2- il s’agit d’une sollicitation composée Flexion – torsion 3- Représentation des diagrammes des efforts : 4- Calcul du moment idéal de flexion : λ =Rpg/Rpe = 75/150 = 0.5 donc 2 2 t f fi M M M + = On prend les valeurs maximales de Mf et Mt pour déterminer Mfi car ces valeurs vont donner la contrainte la plus élevée. Donc pour l’application numérique, Î on prend Mf =7.104 Nm et Mt = 150 Nm A.N. Mfi = 304,1 MPa 5- Calcul de la contrainte normale maximale : Comme le cas de la flexion simple la contrainte normale maximale est |σM| = (Mfi/IGz) |y|max Ici |y|max correspend au rayon de l’arbre donc d/2, et IGz= π d4/64 Donc : |σM| = (Mfi / (π d4/64)). d/2 A.N. |σM| ≈ 3100/d3 6- Détermination de diamètre d de l’arbre : La condition de résistance donne : |σM| ≈ 3100/d3 ≤ Rpe donc d ≥3 6 10 . 150 3100 ≈27.5 mm Mt (N.m) 0 70 150 x (mm) 70 Mf (N.m) x (mm) 7.104 Diagramme du moment de torsion Diagramme du moment de flexion uploads/Finance/ exercice-torsio-flexion 1 .pdf