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Fiche séquence n° 7 Module : 12 Mathématiques financières Masse horaire : 60 He

Fiche séquence n° 7 Module : 12 Mathématiques financières Masse horaire : 60 Heures Séquence n° 7 Les emprunts indivis Temps prévu : 10 Heures Objectif de la séquence Définition des concepts et calcul des emprunts indivis I. Définition L’emprunt indivis se caractérise par le fait que l’emprunteur (un particulier : Personne physique ou une entreprise : Personne morale) s’adresse à un seul créancier (le nominal (C) de la dette n’est pas divisé). L’emprunt indivis s’oppose donc à l’emprunt obligataire pour lequel l’emprunteur (une grande entreprise ou l’Etat) recourt à une multitude de créanciers (le nominal (C) de la dette est divisé en titres). II. Notions d’amortissement des emprunts indivis Une personne emprunte une somme C pour une durée égale à (n) périodes au taux (i). Pour l’amortissement de la dette, on distingue deux types de systèmes : Emprunts remboursables en une seule fois Amortissements à l’aide d’annuités. A. Emprunts remboursables en une seule fois Ici, l’emprunteur ne verse à la fin de chaque année que l’intérêt = (C * i) de la dette. Le nominal (C) ou encore « le principal » est versé en bloc à la fin de la dernière année avec, bien entendu, l’intérêt (C * i). La situation se présente comme suit : Remarque : a- On vérifie aisément l’équivalence à l’époque 0 et à l’époque n. En effet : A l’époque O, on a : C = (C* i) [1 – (1+i)-n / i] + C (1+i)-n De même, à l’époque n, on a : C (1+i)n = (C * i) [(1+i)n - 1/ i] + C b- Les versements effectués à la fin de chaque année de l’emprunt, peuvent être considérés comme étant des annuités de remboursement. Notons, cependant, que seule la dernière annuité contient l’amortissement de la dette (effectué en bloc). Concepteur Mr SOUAID Salah Page 1 Exemple : Un emprunt de 250 000 DH est remboursable à la fin de 10ième année. L’emprunteur s’engage à verser à la fin de chaque année l’intérêt de la dette. Taux : 10,5 % l’an. 1) Vérifier que C à l’époque 0 est toujours égal à 250 000 DH. 2) Vérifier que juste après le 4ème versement, la dette est toujours de 250 000 DH. 3) Vérifier la valeur acquise à l’époque n. Corrigé : On a : C = 250 000 DH i = 0,105 n = 10 ans I = C * i = 250 000 * 0,105 = 26 250 DH 1) Vérification de C à l’époque 0. C = (C * i) [1 – (1+i)-n / i ] + C (1+i)-n C = (250 000 * 0,105) [1 – (1,105)-10 / 0,105] + 250 000 (1,105)-10 C = 26 250 [0,631551137 / 0,105] + (250 000 * 0,368448862) C = (26 250 * 6,01477274) + 92 112,21556 C = 157 887,7844 + 92 112,21556 C = 250 000 DH 2) Le solde S4 apparait comme étant la différence entre le capital initial (Débit pour l’emprunteur) et les différents versements effectués jusqu’à l’époque 4 (Crédit pour l’emprunteur) S4 = C (1+i)4 – Intérêt * [(1+i)4 – 1 / i ] S4 = 250 000 (1,105)4 – 26 250 [(1,105)4 – 1 / 0,105] S4 = (250 000 * 1,490902051) – 26 250 [0,49090205 / 0,105] S4 = 372 725,51 – 26 250 [0,490902051 / 0,105] S4 = 372 725,51 – (26 250 * 4,675257625) S4 = 372 725,51 – 122 725,51 S4 = 250 000 DH Ou bien : C = (C * i) [1 – (1+i)-n / i ] + C (1+i)-n C = (250 000 * 0,105) [1 – (1,105)-6 / 0,105] + 250 000 (1,105)-6 C = 26 250 [0,450678835 / 0,105] + 137 330,29 C = (26 250 * 4,292179381) + 137 330,29 C = 112 669,71 + 137 330,29 C = 250 000 DH 3) Calcul de la valeur acquise à l’époque n. C (1 +i )n = (C * i) [(1+i)n - 1 / i ] + C 250 000 (1,105)10 = 26 25 [1,714080847 / 0,105] + 250 000 250 000 * 2,714080847 = (26 250 * 16,32457949) + 250 000 678 520,2116 = 428 520,2116 + 250 000 678 520,2116 = 678 520,2116 Concepteur Mr SOUAID Salah Page 2 B. Amortissement de la dette à l’aide d’annuités Ce système se caractérise par le fait que les annuités contiennent tout : A la fin de la 1ère année, l’annuité (a1) est versée : celle-ci contient non seulement l’intérêt (C * i) de la 1ère année, mais également une somme Am1 destinée à commencer à rembourser la dette ; c’est le 1er amortissement. Exemple : (Cas où les annuités ne sont pas constantes) Un emprunt de 200 000 DH est remboursable à l’aide de 6 annuités. Le premier versement venant à échéance un an après la date du contrat. Taux : 11 % Sachant que les amortissements sont respectivement 35 000 DH, 20 000 DH, 50 000 DH, 40 000 DH, et 10 000 DH, établir le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré. Période Capital en début de période (CDP) Intérêt de la période (I) Amortis- sement (Am) Annuité (a) Capital en fin de période (CFP) 1 200 000 22 000 (1) 35 000 57 000 (2) 165 000 (3) 2 165 000 18 150 20 000 38 150 145 000 3 145 000 15 950 50 000 65 950 95 000 4 95 000 10 450 40 000 50 450 55 000 5 55 000 6 050 10 000 16 050 45 000 6 45 000 4 950 45 000 49 950 0 (1) I = CDP * i = 200 000 * 0,11 = 22 000 DH (2) Annuité = a = I + Am = 22 000 + 35 000 = 57 000 DH (3) CFP = CDP – Am = 200 000 – 35 000 = 165 000 DH Remarque : Le dernier amortissement n’a pas été donné, son calcul ne pose aucun problème : Am6 = 200 000 – (35 000 + 20 000 + 50 000 + 40 000 + 10 000) = 45 000 DH III. Amortissement par annuités constantes A. Construction du tableau d’amortissement La somme de l’intérêt de la période et de l’amortissement est constante. Cette somme peut être calculée à l’aide de la formule suivante. La dette remboursée (DR) et l’intérêt de la période vont en diminution, donc l’amortissement va en augmentation (Amortissement progressif). Il sera intéressant de maîtriser le comportement des amortissements d’une période à l’autre. Concepteur Mr SOUAID Salah Page 3 Exemple : (Cas où les annuités sont constantes) Une personne emprunte 350 000 DH auprès d’une banque et s’engage à verser 8 annuités constantes. La 1ère payable 1 an après la date du contrat. Sachant que le taux est de 12 % l’an, construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré. Corrigé : Calculons l’annuité de remboursement : a = A0 [ i / 1 – (1+i)-n ] a = 350 000 [0,12 / 1 – (1,12)-8 ] a = 350 000 * (0,12 / 0,596116772) a = 350 000 * 0,201302841 a = 70 455,99 DH D’où le tableau d’amortissement suivant : Période (CDP) I Am Annuité (CFP) 1 350 000 42 000 (1) 28 455,99 (2) 70 455,99 (3) 321 544,01 (4) 2 321 544,01 38 585,28 31 870,71 70 455,99 289 673,29 3 289 673,29 34 760,80 35 695,20 70 455,99 253 978,09 4 253 978,09 30 477,37 39 978,62 70 455,99 213 999,47 5 213 999,47 25 679,94 44 776,06 70 455,99 169 223,41 6 169 223,41 20 306,81 50 149,19 70 455,99 119 074,23 7 119 074,23 14 288,91 56 167,09 70 455,99 62 907,14 8 62 907,14 7 548,86 62 907,14 70 455,99 0 (1) I = CDP * i = 350 000 * 0,12 = 42 000 DH (2) Am = A0 [ i / (1+i)n – 1] = 350 000 [0,12 / 1,12)8 – 1] = 28 455,99 DH (3) Annuité = a = C [ i / 1 – (1+i)-n ] = 70 455,99 DH (4) CFP = CDP – Am = 350 000 – 28 455,99 = 321 544,99 DH Remarque : Les amortissements sont bien en progression géométrique. Par exemple : (35 695,20 / 31 870,71) = 1,12 = (1+i) = (1+0,12) = (1,12) Le tableau d’amortissement, peut être construit, à partir de la colonne des amortissements : Am1 = A0 [ i / (1+i)n – 1] Am1 = 350 000 [0,12 / (1,12)8 – 1] Am1 = 350 000 * (0,12 / 1,475963176) Am1 = 350 000 * 0,081302841 Am1 = 28 455,99 DH En multipliant à chaque fois pat (1+i) = (1,12), on obtient les autres amortissements. Exemple : Am (2) = Am (1) * (1,12) = 28 455,99 * (1,12) = 31 870,71 DH Am (3) = Am (2) * (1,12) = 31 870,71 * (1,12) = 35 695,20 DH Concepteur Mr SOUAID Salah Page 4 B. Calcul du capital restant dû Si l’on dispose du tableau d’amortissement, alors la lecture uploads/Finance/ fiche-sequence-n07-mf-2020.pdf