UE : MAT5-2 Compléments sur les groupes : partie 1 (version du 21 novembre 2016
UE : MAT5-2 Compléments sur les groupes : partie 1 (version du 21 novembre 2016 ) Table des matières 1 Action d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Opération transitive - Equation aux classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Homomorphisme induit par l’action d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . 9 1 1 Action d’un groupe sur un ensemble Dans cette section, sauf indications contraires, G désignera un groupe multiplicatif et e son élément neutre. 1.1 Définition et exemples On rappelle qu’une loi de composition externe sur un ensemble non vide E à opéra- teurs dans un groupe G est une application de G × E dans E. Si ⋆est une telle loi, l’image de tout couple (g, x) ∈G × E est notée g ⋆x. Définition 1. On dit qu’un groupe G opère à gauche sur un ensemble non vide E (ou que G agit sur E à gauche) si l’on a défini une loi de composition externe ⋆sur E à opérateurs dans G qui vérifie les deux conditions suivantes. i. ∀x ∈E (e⋆x = x) ii. ∀g1 ∈G ∀g2 ∈G ∀x ∈E (g1 ⋆(g2 ⋆x) = (g1g2) ⋆x). L’application (g, x) g ⋆x vérifiant ces deux conditions est appelée action de G sur E. Définition 2. Lorsqu’un groupe G opère à gauche sur un ensemble E suivant la loi ⋆et que x est un élément de E, alors : • l’ensemble orbG(x) = {g ⋆x / g ∈G} est appelé G-orbite (ou plus simplement orbite ou encore trajectoire) de x. • si g ∈G est tel que g ⋆x = x, on dit que x est un point fixe de g. • l’ensemble stabG(x) = {g ∈G /g ⋆x = x} est appelé stabilisateur de x. • l’élément x est appelé point fixe de G lorsque stabG(x) = G. Remarque 3. Si G un groupe opére dans un ensemble non vide E, i. on vérifie que la relation binaire R définie par : ∀x ∈E∀y ∈E(xRy y ∈orbG(x)) est une relation d’équivalence sur E et donc, que les orbites réalisent une partition de E. ii. Si un groupe G opère dans un ensemble non vide E et si a∈E, alors stabG(a) est un sous-groupe de G. En effet, si G opère dans E par la loi ⋆et si x ∈E, on a : − stabG(x) ∅car e ∈stabG(x). − Pour tous g1 et g2 dans stabG(x), on a : (g1g2) ⋆x = g1 ⋆(g2 ⋆x) = g1 ⋆x = x donc g1g2 ∈stabG(x) et par conséquent stabG(x) est stable. − Pour tout g ∈stabG(x), on a : g−1 ⋆x = g−1 ⋆(g ⋆x) = (g−1g) ⋆x = e⋆x = x 2 Section 1 karims@ml.refer.org ou samakek@yahoo.fr Donc g−1 ∈stabG(x) et par suite, stabG(x) est fermé par passage au symétrique. Exemple 4. Tout sous-groupe H d’un groupe G opère sur G par la loi H × G G (h, g) hg Avec cette action, on dit que le sous-groupe H opère par translation à gauche sur G. Exemple 5. Si E est un ensemble non vide, tout sous-groupe H du groupe S(E) (groupe des permutations de E) agit sur E par la loi H × E E (σ, x) σx = σ(x) En effet, pour toutes permutations σ et σ′ de E et tout x ∈E, on a : IdE x = IdE (x) = x et σ(σ′x) = σ(σ′(x)) = σ ◦σ′(x) = (σ ◦σ′)x Cette action est appelée action naturelle de H sur E. Exemple 6. Si H est un sous-groupe d’un groupe G et que E désigne l’ensemble des classes à gauche de G suivant H, alors G agit sur E par la loi H × E E (g, xH) g(xH) = (gx)H En effet, pour tous h et h′ dans H et tout x ∈G, on a : e (xH) = (ex) H = xH h(h′(xH)) = h((h′x)H) = (h (h′x))H = ((hh′)x) H = (hh′)(xH) Avec cette action, on dit que G agit par translation à gauche sur l’ensemble des classes à gauche de G suivant H. Exemple 7. Tout sous-groupe H du groupe G opère sur G par la loi H × G G (h, g) hgh−1 En effet, pour tous h et h′ dans H et tout x ∈G, on a : exe −1 = x et h h′xh′ −1 h −1 = (hh′)x h′ −1h−1 = (hh′)x(hh′) −1 Avec cette action, on dit que le sous-groupe H agit par automorphismes intérieurs sur G. Pour tout couple (h, x) ∈H × G, les éléments x et hxh−1 sont dits conjugués et l’ensemble {h x h−1 / h ∈H} est appelé classe de conjuguaison de x suivant le sous- groupe H. Exemple 8. Si E désigne l’ensemble des sous-groupes du groupe G, alors G opère sur E par la loi G × E E (x, H) xHx−1 Action d’un groupe sur un ensemble 3 karims@ml.refer.org ou samakek@yahoo.fr En effet, pour tous x et y dans G et tout sous-groupe H de G, on a eHe−1 = H et x(yHy−1)x−1 = (xy)H(y−1x−1) = (xy)H(xy)−1 Avec cette action, on dit que G opère sur l’ensemble de ses groupes par conjugaison. Pour tout x∈G et tout sous-groupe H de G, les sous-groupes H et xHx−1 sont dits conjugués. Exemple 9. Soit H le sous-groupe de S4 engendré par le cycle σ = (1, 3, 4). Déterminons l’orbite et le stabilisteur de la transposition τ = (1, 2) pour H opérant dans G par automorphismes intérieurs. En désignant par e la permutation unité, on a H = {e, σ, σ2} avec σ2 = (1, 4, 3) = σ−1 et donc, orbH(τ) = {hτh−1 / h ∈H } = {τ , στσ−1, σ2τ(σ2)−1} = {τ , στσ2, σ2τσ} On a stabH(τ) = {h ∈H / hτh−1 = τ } = {h ∈H / hτ = τh} = {e} puisque στ(1) = 2 3 = τσ(1) et que σ2τ(1) = 2 4 = τσ2(1). Exemple 10. Soit G le sous-groupe de GL(2, R) donné par G = a 0 0 b / a > 0 et b > 0 On considère l’action ⋆de G sur l’ensemble E = R2 telle que G × E E a 0 0 b , (x, y) a 0 0 b ⋆(x, y) = (a x, b y) Déterminons le stabilisateur et l’orbite de A = (1, −2). Pour tous a et b dans R+ ⋆, on a a 0 0 b ⋆A = A (a, −2b ) = (a, b) b = 0 Donc stabG(A) = a 0 0 0 / a > 0 . L’orbite de A est orbG(A) = {(a, −2b) / a > 0 et b > 0} = {(a, b) / a > 0 et b < 0} Déterminons toutes les G-orbites de E. Soient M =(α, β) et N =(α′, β ′) dans E. On a N ∈orbG(M) si et seulement si il existe a > 0 et b > 0 tels que (α′, β ′) = (aα, bβ), donc si et seulement si α et α′ sont de même signe et β et β ′ sont de même signe. Il en résulte que les G-orbites de E sont les parties suivantes de E : R+ ⋆×R+ ⋆, R− ⋆×R− ⋆, R+ ⋆× R− ⋆, R− ⋆× R+ ⋆, {0}× R+ ⋆, {0} × R− ⋆, R+ ⋆× {0}, R− ⋆× {0} et (0, 0). Elles sont au nombre de neuf. 4 Section 1 karims@ml.refer.org ou samakek@yahoo.fr Exercice 1. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Pour H opérant dans G par automorphismes intérieurs, montrer que l’ensemble des points fixes de H est le centralisateur de H. Exercice 2. Soit G un groupe et E l’ensemble des sous-groupes de G. On considère l’action de G sur E donnée par (g, H) gHg−1. Montrer que : 1. le stabilisateur de tout sous-groupe H est le normalisateur de H. 2. les points fixes de G sont les sous-groupes normaux de G. Exercice 3. On fait opérer un groupe G sur lui-même par automorphismes intérieurs. Déter- miner les différentes classes de conjugaison du groupe G dans les cas suivants. 1. G = Z/6Z. 2. G = S3. 3. G = D4 (le groupe du carré). Proposition 11. Si un groupe G opère dans un ensemble non vide E et si deux éléments quelconques a et b de E appartiennent à une même G-orbite, uploads/Finance/ groupes-2016-2017-part1.pdf
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- Publié le Sep 28, 2022
- Catégorie Business / Finance
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