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Devoir libre8 2021 2022 polynomes

Cpge Lycée Omar ben-Abdelaziz MPSI Devoir libre no le vendredi Année scolaire - Exercice Équations de Mordell Partie I Résolution de y ? x ? Soit a b ? tel que a ? b ? On rappelle que si ab est un cube parfait alors a et b le sont également Soit x y ? tel que y soit impair et y ? x ? a Montrer qu'il existe a b ? un couple de nombres impairs tel que y ? ? a et y ?? ? b b Montrer quea ? b ? et b ? b ? ? c Conclure Soit x y ? tel que y est pair et y ? x ? a Montrer que x et y sont divisibles par On note x ? x et y ? y b Montrer que y est impair On note y ? n ? c Montrer que n et n ? sont des cubes parfaits puis en déduire la valeur de x Déterminer l'ensemble des entiers x y ? tels que y ? x ? Partie II Résolution de y ? x ? Soit a ? Montrer que le reste de la division euclidienne de a par appartient à l'ensemble Soit x y ? tel que y ? x ? a Si x est pair montrer que y ? ? En déduire que x est impair On suppose dans la suite que x est impair b Factoriser dans ? X ? le polynôme X ? c Montrer que x ? ? possède un diviseur premier p congru à modulo d En utilisant l'entier p obtenu à la question précédente montrer que y ? ?? p ? En déduire l'ensemble des couples x y ? tels que y ? x ? Problème Polynômes de Chebychev On dé ?nit une suite de polynômes T n n ? de la manière suivante T X ? T X ? X et ? n ? T n ? X ? XT n ? X ??T X n Première partie Calculer T T T etT Montrer que pour tout entier n a T est de degré n et son terme dominant est n ?? X n n C b T a la parité de n n c T ? n Montrer que ? m n ? m ? n ? TnTm ? Tn ? m ? Tn ??m Prouver que ? m n ? Tm Tn X ? Tm ? n X En déduire un isomorphisme entre ? et T n ? n Deuxième partie Montrer que ? ?? ? ? ? n ? T cos ?? ? cos n ?? et T cosh ?? ? cosh n ?? n n Etablir que pour tout n ? les racines deT sont réels distincts deux à deux qu ? ils sont dans n ? ?? et qu ? ils sont donnés par ? k ? n ?? x ? cos ? ? k ? k n n a Montrer que ? ?? ? ? ?