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1 REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO ENSEIGNEMENT SUPEREIEUR ET UNIVERSITAIRE INS

1 REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO ENSEIGNEMENT SUPEREIEUR ET UNIVERSITAIRE INSTITUT SUPERIEUR DE GESTION INFORMATIQUE DE GOMA /I.S.I.G-GOMA COURS DE MATHEMATIQUE FINANCIERE A COURT ET LONG TERME Promotion : Première année de graduat Auteur: BUGANDWA Deogratias, PhD Cours enseigné à l'ISIG par Assistant KINDU Jean-Chirac Année académique 2012-2013 DEVELOPPEMENT P R O F E S M A T I O N ISIG 2 Plan du cours Partie I Opérations financières à Court terme CHAP I INTERET SIMPLE CHAP II ESCOMPTE A INTERET SIMPLE CHAP III EQUIVALENCE DES EFFETS OU DES CAPITAUX CHAP IV LA VENTE A TEMPERAMENT Partie II Opérations financières à Moyen et Long terme CHAP VI INTERETS COMPOSES CHAP VII LES ANNUITES CHAP VIII LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES Objectifs du cours Ce cours a pour objectifs principaux : 1. De préparer les étudiants à mieux aborder d’autres matières en rapport avec les finances en général à travers le recours à l’usage de taux d’intérêt pour les opérations d’actualisation et de capitalisation qui constituent le fondement du raisonnement financier ; 2. De permettre aux étudiants, dans le vie professionnelle, de comprendre le processus d’investissement et de placement des capitaux ; de gérer rationnellement les opérations bancaires et d’élaborer des projets et comprendre les rendements attendus de ces derniers. 3 CHAP I INTERET SIMPLE I.1 NOTIONS D’INTERET, DE TEMPS, ET DE TAUX L’intérêt est le loyer de l’argent placé ou prêté, c’est-à-dire l’indemnité à laquelle a droit toute personne (créancier ou prêteur) qui a prêté à une autre personne (débiteur ou emprunteur) une certaine somme d’argent pour une durée bien déterminée. Cette indemnité sera d’autant plus grande que la durée du prêt est importante ou que le capital prêté est élevé. Pour en préciser le montant, on fixe conventionnellement l’intérêt d’une somme bien déterminée (ex. 100 unités monétaires) placés pendant une durée unitaire appelée période de placement (ordinairement l’année, mais pas toujours). Cet intérêt est appelé taux du prêt ou du placement. Le taux pourcent est l’intérêt de cent unités monétaires pendant une certaine période. Il est possible – et nous le verrons dans la suite – de considérer 1 unités monétaires pour le développement des formules généralisables. Il est bien entendu que le taux n’est défini que si l’on mentionne la période à laquelle il se rapporte. Lorsque cette précision n’est pas donnée, on sous-entendra généralement que cette période est d’une année. I.2 INTERET SIMPLE ET INTERET COMPOSE L’intérêt est dit « simple » quand le capital placé reste invariable pendant toute la durée de placement. Il sera dit « composé » quand à la fin de chaque période il est reporté sur le capital pour un constituer un nouveau capital plus élevé produisant à son tour des intérêts. En d’autres termes, dans la logique d’intérêts composés, les intérêts portent aussi des intérêts. Ce processus est appelé « la capitalisation des intérêts ». Nous y reviendrons dans la 2ème partie du cours. L’intérêt simple est réservé aux opérations à court terme (objet de la première partie de ce cours). La durée de placement sera toujours une certaine fraction d’année (quelques mois, quelques jours). L’intérêt composé quant à lui est réservé aux opérations à Moyen et Long terme, c’est-à-dire plus d’un an. I.3 CALCUL DES JOURS ENTRE DEUX DATES I.3.1 Types d’années considérées dans le calcul des jours en mathématiques financières On distingue trois types d’années, selon le pays 4 1. L’année commerciale Tous les mois sont comptés à 30 jours et l’année à 360 jours. Le dernier jour du mois est considéré comme étant le 30. Cette année est d’usage dans les pays tels que l’Allemagne, la Suisse, et les pays Scandinaves. Nous y recourrons également pour la plupart des formalisations mathématiques en vue de développer des formules d’usage. 2. L’année civile Les mois sont comptés à leur juste valeur et l’année à 365 jours. C’est cette année qui est considéré en Grande-Bretagne et autres pays anglo-saxons, et aux Etats- Unis. 3. L’année mixte Les mois sont comptés à leur valeur et l’année à 360 jours. Elle est appliquée dans la plupart des pays (France, Belgique, et République Démocratique du Congo). I.3.2 Décompte des jours entre 2 dates Au Congo, il est d’usage dans les calculs des jours entre deux dates, de ne pas tenir compte du 1er jour mais du dernier. Ex : Du 17 juillet au 31 juillet on a 14 jours. De la date d’un mois à une date différente d’un autre mois, on compte le nombre exact des jours qui les sépare. Ex : Du 20 février au 15 mai on a : 8j + 31j + 30j + 15j = 84 jours. Ainsi, le nombre des jours à compter dans le mois du placement s’obtient en retranchant la date (20 février) du total de jours de ce mois (dans notre exemple : 28 jours – 20 jours = 8 jours). De la date d’un mois à la date d’un autre mois, on compte le temps en mois. Ex : du 25 novembre au 25 avril il y a donc 5 mois. I.4 FORMULES GENERALES DE CALCUL DE L’INTERET SIMPLE L’intérêt simple est calculé comme étant directement proportionnel au capital, au taux et au temps (durée de placement). Ex : Quel est l’intérêt produit par un capital C placé au taux r % pendant n jours. Si le n s’exprime en années, nous pourrons écrire 5 : Telle est la formule de l’intérêt simple (un produit du capital, temps et taux). Quel est l’intérêt rapporté par un capital de 1 FC placé pendant 1 an au taux r% ? i=r/100 D’où la définition du taux d’intérêt qui est l’intérêt rapporté par un capital de 1 u.m placée pendant 1 an. Remarque : Dans le calcul de l’intérêt, on peut admettre que le temps soit donné en fraction d’une année. Par exemple, s’il est donné en mois, on aura n=m/n années et on remplacera cette expression dans la formule Exemples 1. Calculez l’intérêt produit par un capital de 10.000 FC placé pendant 72 jours au taux de 4 % 2. Un capital placé pendant 5 ans au taux de 12 % à intérêt simple porte la fortune d’un investisseur à 1000.000 FC. Quelle était la mise initiale ? 3. Un capital de 1000 $, placé pendant 10 ans voit sa valeur acquise égale à 2000 $. A quel taux annuel ce capital était-il placé ? 4. Un capital de 25000 $ placé à 14 % rapporte 10000 $ d’intérêts. En combien d’années cet intérêt a-t-il été généré ? 5. Un capital de 10000 $ est placé aux taux 2,5 % pendant 125 jours. Quel intérêt rapportera-t-il ? Quel serait cet intérêt si le capital était placé pendant 2 mois ? I.5. ETUDE DE LA FONCTION VALEUR ACQUISE On a déjà vu, à travers l’exercice numéro 2, que la valeur acquise est le capital initial auquel on ajoute les intérêts portés pendant une certaine période. On peut donc écrire 100 . . r n C C Cn + = Soit r/100 = i, nous pouvons noter Cn = C + C.n.i Pour un capital de 1 unité monétaire, nous aurons Cn = 1 + i.n 6 Nous pouvons donc constater que Cn = f(n) Graphiquement, cette fonction peut être représentée comme une fonction linéaire dont la pente est donnée par le taux d’intérêt. I.7 LES METHODES COMMERCIALES DE CALCUL D’INTERET Les calculs d’intérêt sont longs lorsqu’ils portent sur un ensemble de somme comme c’est souvent le cas dans la pratique. Aussi, les méthodes commerciales ou méthode de calcul rapide des intérêts présentent-elles des grands avantages principalement pour la banque. Il existe plusieurs méthodes, mais nous n’en étudierons que quelques unes. Nous verrons les avantages et les inconvénients de chacune d’elles et en trouverons des applications. I.7.1 Méthode de nombre et diviseur fixe. Soit la formule de l’intérêt 36000 . . r n C i = Si on divise le numérateur et le dénominateur par r, nous obtenons r n C i 36000 . = C.n (numérateur) est appelé nombre. C’est donc le capital multiplié par le nombre (en jours). Nous écrirons N = C.n Le diviseur fixe est le chiffre obtenu en divisant 36000 par le taux. Nous le noterons D. Cn Cn = 1 + i.n n 7 Ainsi, la formule d’intérêt devient i = N/D Règle : On peut obtenir l’intérêt d’un capital pour un certain nombre de jours en divisant le nombre par le diviseur fixe. Pratiquement, on ne calcule pas le diviseur, il est connu de ceux qui l’utilisent. En effet, 36000 est divisible par la plupart des taux couramment employés et le diviseur obtenu est un montant facile à retenir. Voici un tableau correspondant aux taux usuels Taux en % Diviseur D=36000/r Taux en % Diviseur D=36000/r 2 18.000 6 6.000 2,5 14.400 7,2 5.000 3 12.000 7,5 4.800 4 10.000 8 4.500 4,5 9.000 9 4.000 5 8.000 10 3.600 Exemple Calculez l’intérêt produit par le capital de 5.400 FC placé à 4 % pendant 75 jours. N = C.n = 5.400 x uploads/Finance/ mathematique-financiere-2012091504sep16-001.pdf