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INTRODUCTION En général, un prêt n’est pas remboursé en une seule fois. Les rem

INTRODUCTION En général, un prêt n’est pas remboursé en une seule fois. Les remboursements sont étalés sur plusieurs périodes. De même, un capital est rarement constitué en un seul versement, mais plus souvent en une succession de versements. Les produits de placement ou les crédits proposés par les établissements financiers impliquent fréquemment des engagements de versements égaux et réguliers : - plan d'épargne logement - plan d'épargne retraite - plan d'assurance vie - emprunt… Ces versements sont désignés sous le terme générique d’annuités même si leur fréquence est autre qu’annuelle (versements mensuels, trimestriels, bisannuels…). Notre étude consistera à donner de façon claire et précise des informations qui permettront de maitriser les annuités et les pratiquer en entreprise. I APPROCHE DÉFINITIONNELLE 1 MATHEMATIQUE FINANCIERE Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les opérations financières d’une certaine durée (emprunt et placement /investissement) et notamment les marchés financiers. Elles font jouer le facteur temps et utilisent principalement des outils issus de l’actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel. Les annuités On appelle annuités une suite de flux monétaires perçus ou réglés à intervalles de temps égaux. Une suite d’annuités peut être aussi définie comme une succession de versements, pour créer ou rembourser un capital. Les annuités désignent une suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers. La distance d’un versement à l’autre peut être l’année, le semestre, le trimestre ou le mois. Les caractéristiques Le terme « annuité » est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la période est différente de l’année, il est préférable de remplacer le terme « annuité » par « semestrialité », « trimestrialité » ou « mensualité ». L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux. Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que lorsque leur montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités variables. Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin de période. Les annuités peuvent être certaines lorsque leur nombre est connu à l’avance, aléatoires ou viagères, lorsque leur nombre est inconnu au moment du contrat ou enfin perpétuelles lorsque leur nombre est illimité. L’ORIGINE DES ANNUITES Sont assimilés à des annuités, semestrialités, trimestrialités ou mensualités, les versements destinés à : - - Constituer un capital, il s’agit alors d’annuités de placement ou de capitalisation ; - - Rembourser une dette, c’est le cas des annuités de remboursement ou d’amortissement. Ou encore, ceux dont l’objet est le paiement : - - Des redevances de crédit- bail ; - - Des loyers aux propriétaires d’immeubles ; - - Des rentes (somme d’argent qu’une personne est tenue de donner périodiquement à une autre). Cette notion s’applique également aux charges et recettes générées chaque année par un investissement. II LES TYPE D’ANNUITES Il existe deux types d’annuités : annuités constantes et annuités variables Les Annuités Temporaires Une suite d’annuités est définie dès lors que sont précisés : - - La date du premier versement ; - - Le nombre et la fréquence des versements ; Il convient également de préciser la nature de ces annuités : - - Les annuités de début de période donnent lieu à un versement immédiatement consécutif à la signature du contrat. L’origine de cette suite d’annuités se situe à la date du premier versement ; - - Les annuités de fin de période correspondant aux versements à terme échu. Leur origine est antérieure d’une période à la période à la date du premier versement. La nature des annuités est définitivement établie par la définition du montant de ces versements. L’annuité constante désigne les versements de valeurs égales. Le cas contraire correspond aux annuités variables. Le caractère de cette variation est généralement précisé par la loi d’évolution des annuités, qui peut-être arithmétique ou géométrique 1 ANNUITES CONSTANTES L'annuité constante est le remboursement annuel d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné. Le tableau de remboursement d’un emprunt Pour une entreprise, l’emprunt est un moyen de financement de ses investissements. Sa banque lui avance des fonds pour l’acquisition de ses immobilisations, qu’elle remboursera selon une durée et un taux fixés. Le tableau d’amortissement d’emprunt récapitule toutes les toutes les ensembles périodiques (ou échéances) de l’emprunt. Il détaille les versements(annuités, mensualités…) en amortissements remboursements de l’emprunteur) et intérêt (rémunération de l’emprunteur). Exemple Une entreprise contracte un emprunt auprès de sa banque aux conditions suivantes : montant de 10000 remboursable en 5 ans au taux de 5% ; La formule du taux d’annuité constante Le calcul d'une annuité constante versée par l'emprunteur chaque année ou chaque période s'exprime par la formule : avec : A : la valeur de l’annuité E : la valeur de l’emprunt i : le taux n : la période Méthode 1 : emprunt remboursable par amortissement constants Méthode 1 : emprunt remboursable par annuités constantes La valeur acquise La valeur acquise ou la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes dépend de la date de versement c’est à dire début de période ou fin de période. La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de capitalisation(en fin de période) Définition La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de fin de période désigne la somme des valeurs acquises par chacune de ces annuités, exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité. La valeur acquise est la somme des valeurs actualisées par chaque annuité lors du versement de la dernière annuité. La valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de fin de période suit une progression géométrique de raison (1+i)n. Le calcul de la valeur acquise peut être effectué à l’aide de la formule de la somme géométrique. Dans ce cas, désignons par : a: le montant constant de l’annuité ; n : le nombre d’annuités (de périodes) ; i : le taux d’intérêt ; Vn : la valeur acquise par la suite d’annuités au terme de la dernière ; avec Vn la valeur acquise, n le nombre d’annuités, i le taux d’intérêt et a le montant de l’annuité constante. Exemple 1000 Fcfa sont placés à un intérêt composés chaque mois pendant 5 ans de 2%. La valeur acquise au bout de 5 ans est de : La valeur de l’expression est donnée par la table financière n°3 1000 (1+0,02)5-1 0,02 = 5204 (1+i)n-1 i Transformation de l’expression générale L’expression générale comporte trois variables : a, n, i. Si l’une d’elles est inconnue, la recherche de sa valeur implique la transformation de la formule initiale : - - Cas où a est l’inconnue La détermination de la valeur numérique de a ne pose aucun problème à l’utilisateur d’une calculatrice. Exemple : Déterminer l’annuité qui, capitalisé à 7%, fournit une valeur acquise de 51 299, 01. Nombre de versements : 8 a = 51299,01 a=4999,99 soit 5000 cas où n est l’inconnue La valeur de n s’obtient à partir de : = La correspondance tabulaire de V n /a fournit la valeur de n ; deux cas de figure sont alors possible : n est un nombre entier. Cette valeur constituera la solution au problème posé. n est un nombre fractionnaire. Le problème, tel qu’il est présenté n’a aucune solution. Illustrons ces deux éventualités à l’aide des applications suivantes : Cas où n est un nombre entier i : Déterminer, au taux de 7% le nombre d’annuités constantes de 5 000 nécessaire à la constitution d’un capital de 51 299,01. = a Vn 0,07 (1,07)8-1 (1+i)n-1 51299,01 5000 i (1,07)n-1 0,07 10,259802 = 10,259802 se trouve dans la colonne du taux 7% de la table n°3. Le nombre correspondant à cette valeur est 8. Cas où n est un nombre fractionnaire Déterminer, au taux de 7%, le nombre d’annuités constantes de 5 000 nécessaire à la constitution d’un capital de 55 000. = 11 = La table financière n°3 indique que 11 correspond à un nombre de versements compris entre 8 et 9. La condition impérative étant d’obtenir une valeur entière pour n, ce problème n’a donc pas de solution correspondant à la forme sous laquelle il est posé. Deux solutions peuvent être envisagées en fonction des modifications de l’énoncé admises : PREMIERE SOLUTION : Elle n’implique que l’annuité constante définie dans l’énoncé soit supérieure ou inférieure à celle initialement imposée : 5 000 FF. Pour n  8, l’annuité constante est égale à : a= a= a= (1,07)n- 1 0,07 (1,07)n-1 55 000 0,07 5000 (1,07)n- 1 Vn 0,07 i 55000 (1+i)n-1 0,07 (1,07)8-1 5360,73 Pour n=9, l’annuité constante devra être égale à : a=55000 uploads/Finance/ mathematique-financiere.pdf