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Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 1 MATHEMATIQUES FINANCI

Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 1 MATHEMATIQUES FINANCIERES Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 2 Chapitre I : INTERETS SIMPLES Les intérêts simples concernent essentiellement les opérations financières dont le terme est au plus égal à un an : - Les emprunts ou placements sur le marché monétaire, - Les pensions de titres et rémérés, - Les calculs de coupons courus sur les obligations, - Les comptes courants bancaires, - L’escompte commercial. 1. Définition L’intérêt est la rémunération due par l’emprunteur au prêteur, en contrepartie de la mise à disposition d’un capital pendant une durée déterminée. Outre le capital et la durée, l’importance de cette rémunération dépend également du taux, qui est l’intérêt généré par un capital de 100 FF placé pendant un an. 1.1.Expression générale Désignons par : C : le capital prêté, exprimé en francs n : la durée de placement, exprimée en années t : le taux d’intérêt annuel. L’intérêt annuel i sera fourni par l’expression suivante :   n t C i    100   100 n t C i     Application : un capital de 4.000 FF placé pendant trois ans au taux de 10% produira un intérêt égal à :   FF i 200 . 1 100 3 10 000 . 4     Thèmes : - formule générale - Méthode des nombres et diviseurs - Valeur acquise - Taux moyen de placement Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 3 1.2.Durée de placement La durée de placement peut être exprimée en années, mois ou jours. a) Durée de placement en mois La durée indiquée par n correspond alors à un nombre de mois qui représente e n 12 d’année. L’expression générale devient :     12 100 n t C i      1200 n t C i     b) Durée de placement en jours L’année commerciale comportant 360 jours, n indiquera la durée en jours qui correspond à ème n36 d’année. Il en résulte l’expression suivante :   000 36 n t C i    Application : Intérêt d’un capital de 1.500 FF placé à 10% pendant 70 jours :   FF 17 , 29 000 36 70 10 500 1    Remarques : Dans cette application la durée est donnée. En règle générale, elle doit être déterminée à partir des dates extrêmes fournies. Il conviendra ainsi de considérer les mois pour leur nombre de jours civils (janvier : 31 jours ; février : 28 jours…) au lieu de leurs valeurs déduites à partir de l’année commerciale   jours 30 12 360  . Le décompte des jours, compris entre deux dates extrêmes, doit s’effectuer en ne retenant que l’une de ces deux dates : Application : Un prêt consenti A à B le 10 mai est remboursé le 14 juillet. Quelle est la durée en jours ? Mois Nombre de jours civils Date initiale Date finale Nombre jours Mai 31 10 - 21 Juin 30 - - 30 Juillet 31 - 14 14 65 jours Dans cette application, le 10 mai est exclu du décompte des jours et le 14 juillet est inclus. Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 4 2. Transformation de l’expression générale L’expression comporte quatre variables : i ,C , t , n . Si l’une d’elles est inconnue, sa valeur sera directement obtenue par la transformation de la formule générale. Ainsi la valeur de : i sera donnée par :   100 n t C i    t sera donnée par :     n C i t   100 n sera donnée par :     t C i t   100 C sera donnée par :     n t i C   100 Application : Les valeurs numériques des expressions précédentes, déterminées à partir de l’application 1.1. figurent dans le tableau suivant : Inconnue Valeurs numériques de l’expression transformée Valeur de l’inconnue i   100 3 10 4000   1.200 FF t     3 4000 1200 100   10% n     10 4000 1200 100   3 ans C     3 10 1200 100   4.000 FF 3. Méthode de simplification des calculs Une simplification des méthodes de calculs s’impose, notamment lorsqu’il s’agit de déterminer l’intérêt global produit par plusieurs valeurs évaluées au même taux pour des durées différentes. Il en est ainsi des bordereaux d’escompte des effets de commerce. 3.1. La méthode des nombres et diviseurs La description de cette méthode implique que soit réécrite l’expression générale exprimée en jours :   000 36 n t C i    En divisant le numérateur et le dénominateur par t , il vient : Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 5     t n C i 000 36   Posons le nombre : n C N   Le diviseur : t D 000 36  L’intérêt produit par un capital sera égal à : D N i  (1) 3.2.Généralisation au cas de K capitaux Soient k capitaux placés au taux commun t pendant des durées différentes. Désignons par : i C : le ième capital, i n : la durée de placement du ième capital, i I : l’intérêt du ième capital, I : l’intérêt global, t : le taux commun de placement. Compte tenu de l’expression (1), l’intérêt du ième capital s’écrira : D N I i i  (2) L’intérêt global est la somme des intérêts produits par les k capitaux :    k i i I I 1 (3) La transposition de (2) dans (3) livre l’expression finale, à partir des nombres et diviseurs, de l’intérêt global :    k i i D N I 1 (4) Compte tenu de i i i n C N   , la relation (4) s’exprime également ainsi :     k i i i D n C I 1 Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 6 Application : Calculer l’intérêt global, à un taux de 10%, des capitaux suivants : , 500 1 1  C jours 35 1  n , 000 2 2  C jours 40 2  n , 500 2 3  C jours 45 3  n , 000 3 4  C jours 50 4  n , 500 3 5  C jours 55 5  n Déterminer tout d’abord la somme des nombres : i C i n i in C 1.500 35 52.500 2.000 40 80.000 2.500 45 112.500 3.000 50 150.000 3.500 55 192.5000 587.500 500 587 5 1 5 1       i i i i i N n C Valeur du diviseur t D / 000 36 : 600 3 10 / 000 36   D L’intérêt global est égal à :      5 1 19 , 163 600 3 / 500 587 / i i FF D N I 4. Taux moyen de placement Soient les capitaux : k C C C , , , 2 1  : placés respectivement aux taux différents: k t t t , , , 2 1  ; pendant les durées, exprimées en jours : k n n n , , , 2 1  . Le taux moyen de placement est le taux, noté t, qui, appliqué à cette séquence de capitaux et de durées correspondantes, produit le même intérêt global que celui obtenu à partir des taux initiaux respectifs. La détermination de t implique la résolution de l’égalité :      000 36 / 000 36 / 000 36 / 2 2 1 1 k k n t C n t C n t C               000 36 / 000 36 / 000 36 / 2 2 2 1 1 1 k k k n t C n t C n t C                 k i i i i k i i i n t C n C t 1 1  Mathématiques Financières Chapitre I : Intérêts simples 7      k i i i k i i i i n C n t C t 1 1 / L’application de la méthode des nombres et diviseurs permet d’exprimer cette relation sous une forme équivalente : L’égalité i i i i i i i i t N n t C N n C    D’où :           k i i k i i i k i i i k i i i i N uploads/Finance/ mathematiques-financieres-licence-03-economie.pdf