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JOURNAL DE LA SOCIÉTÉ STATISTIQUE DE PARIS JEAN DIF Les modèles actuariels d’év

JOURNAL DE LA SOCIÉTÉ STATISTIQUE DE PARIS JEAN DIF Les modèles actuariels d’évaluation des actions Journal de la société statistique de Paris, tome 116 (1975), p. 291-308 <http://www.numdam.org/item?id=JSFS_1975__116__291_0> © Société de statistique de Paris, 1975, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Journal de la société statistique de Paris » (http://publications-sfds.math.cnrs.fr/index.php/J-SFdS) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti- lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infrac- tion pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la pré- sente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ LES MODÈLES ACTUARIELS D'ÉVALUATION DES ACTIONS In a first part the author tries to conciliate différent actuarial models of assessment of shares, proposed in the financial literature. In a second part, he gives a few extensions to the most usual model, that is to say Gordon-Shapiro's. Im ersten Teil seiner Arbeit versucht der Autor die verschiedenen versicherungsmathemati- schen Modelle zur Bewertung der Aktien, die in der Finanzliteratur verôffentlicht wurden, in Einklang zu bringen. Im zweiten Teil gibt er eine Erweiterung des am meisten verwendeten Modells von Gordon-Shapiro. INTRODUCTION De nombreux modèles d'évaluation des actions ont été proposés par la littérature financière. Certains d'entre eux font appel aux techniques de corrélation-régression, d'autres découlent de la théorie du marché financier. Les plus nombreux sont de type actuariel (1). C'est cette dernière approche que nous retiendrons. Les modèles de type actuariel se subdivisent eux-mêmes en plusieurs catégories : — sur le plan de l'horizon selon que celui-ci est fini ou infini; — sur le plan du type de croissance celle-ci pouvant être ponctuelle ou continue; — sur le plan du financement de la croissance selon que l'on s'en tient ou non aux bénéfices non distribués; — sur le plan de la variable explicative : dividende, bénéfice ou revenu net; — sur le plan, enfin, de la méthode d'actualisation, le taux étant constant ou variable en fonction du temps. Il en résulte une grande diversité de modèles, fondés sur des hypothèses différentes et correspondant donc à des situations précises, qui peuvent paraître contradictoires. Dans une première partie, nous allons donc nous efforcer de concilier ceux qui nous sont apparus les plus significatifs. Dans une seconde partie, nous proposerons quelques extensions au plus courant d'entre eux, celui de Gordon-Shapiro. I — EXAMEN COMPARATIF DE QUELQUES MODÈLES D'ÉVALUATION DES ACTIONS NOUS allons tout d'abord nous efforcer de concevoir un modèle complet, c'est-à-dire un modèle dont les hypothèses seront aussi peu restrictives que possible. Nous montrerons ensuite comment les principaux modèles de la littérature financière peuvent être déduits de ce modèle de base. 1. Voir l'article de Didier Pêne cité en bibliographie. 2 9 2 LES MODÈLES ACTUARIELS D'ÉVALUATION DES ACTIONS A — Le modèle complet On peut admettre avec Williams (1), que le cours d'une action est égal à la valeur présente des dividendes futurs. On a donc : — dans le cas d'un horizon infini : 00 #) ^ o = 2 ,4¾ (1 + *)' — dans le cas d'un horizon fini : n n p ^o - 2, a + /cv ^ z,x (i + ky ^ (i + k)n P 0 = cours initial de l'action Dt = dividende de l'année t Pn = cours de l'action sous l'horizon k = taux d'actualisation approprié n = horizon Posons : Dt = D^ (1 + g,) gt = taux de croissance du dividende de l'année t — l à l'année t. Il vient : 0 (1 + *) ^ (1 + A)i ----1-^1 + *y Ou encore, dans l'hypothèse d'une croissance continue et constante Tous les modèles de croissance, et notamment celui de Malkiel (1), découlent de cette formule de base. Ces modèles posent le problème de l'évaluation de la croissance des divi- dendes. Si l'on néglige, dans un premier temps, les conséquences de l'inflation, la croissance des dividendes suppose, sur le long terme, une progression des bénéfices et, par conséquent, une augmentation des investissements productifs de l'entreprise. Cette augmentation peut être financée au moyen de ressources internes ou externes : a) Ressources internes — Bénéfices non distribués. — Amortissements en excédent du renouvellement pur et simple du potentiel pro- ductif de l'entreprise. b) Ressources externes — Émissions d'actions nouvelles par apport en numéraire. — Dette classique ou convertible. — Dette à court terme... 1. Voir en bibliographie. LES MODÈLES ACTUARIELS D'ÉVALUATION DES ACTIONS 293 Nous allons donc examiner comment l'utilisation de ces ressources peut s'intégrer dans la formule précédente. 1. Financement des investissements au moyen des bénéfices non distribués Soit RTt les bénéfices non distribués réinvestis a cours de l'année t. On a : Dt = Et - R\ Donc : i Et-R>- Pn 0 _ ,4 (1 + kY (1 + *)" Appelons xt le taux de rentabilité des capitaux permanents au cours de la période (. Il vient : Et = xt Vt-i Vt-i = actif net par action à la période du calcul. D'où : «—i _ xlVo-R't x,(V0+R'>)-R'. V ° A j , Pn * 0 — fi j _ fc\ T /1 J_ fc\2 T • • • T M i r.w» "t"./ „ *, ft + 'f R'>) - R'- ~ tèi (1 + kY (1 + kT Rp 0 = cours de l'action à la période initiale avec financement de l'expansion exclusivement au moyen des bénéfices non distribués. 2. Financement au moyen d'emprunts Soit BI t le montant emprunté et investi par action à la période t. L'actionnaire ancien tirera de l'opération un bénéfice égal à : B I i {xt — it) U = coût de l'emprunt à la période t. Supposons que nous ayons : n < m m = maturité de la dette émise à la période initiale. Nous pouvons écrire : R RPo _ RPo . (*i - h) B'1 , (*» - h) Bh (x2 — i2) B'> B,R°-R>°+ { 1 + k ) + (1 + k)2 + (1 + kf 2 9 4 LES MODÈLES ACTUARIELS D'ÉVALUATION DES ACTIONS B, Rp 0 = cours de l'action avec financement au moyen des bénéfices non distribués et de l'emprunt. D'où : ^. = ^+1^(2^] 3. Financement au moyen de Vémission d'actions nouvelles par apport en numéraire Un raisonnement identique à celui qui vient d'être développé permet de prendre en compte le financement au moyen de l'émission d'actions nouvelles. On obtient ainsi : B, /?, s»> = B, RPO + y s*. \y (;#. ,yi ,¾ [pt (1 + k)i J Sz 0 = montant émis et investi par action ancienne. B, R, Sp 0 = cours de l'action avec financement au moyen des bénéfices non distribués, de la dette et de l'émission d'actions nouvelles par apport en numéraire. kt = rendement exigé par les actionnaires nouveaux sur leur apport. 4. Le modèle complet Des trois formules précédentes, on déduit le modèle complet qui prend en considé- ration les diverses sources de financement. t—i ^ = 2 jtfaf +2B,,l2(ïV*5rJ Certes, les différentes ressources énumérées plus haut ne sont pas explicitement prises en compte dans la formule. Il est cependant facile de les y introduire. En effet, les amortissements, excédentaires par rapport à ceux qui permettraient de reconstituer à l'identique le potentiel productif de l'entreprise, sont tout simplement des bénéfices non distribués dissimulés par la comptabilité. Pour en tenir compte, il suffit donc de corriger convenablement les bénéfices déclarés. Quant aux emprunts convertibles, il s'agit d'une dette jusqu'à l'échange et de capi- taux propres au-delà. Si leur introduction dans le modèle paraît assez délicate en raison des hypothèses qu'il faudrait au préalable formuler, on ne peut pas dire que ce dernier interdit leur prise en considération. Il en va de même des autres formes d'endettement (court et moyen terme, fournisseurs...) susceptibles de financer parfois une partie des investissements. On peut supposer qu'ils sont inclus dans la variable BT t. Enfin, le remboursement des emprunts sous l'horizon ne pose aucun problème parti- culier. Il s'agit tout simplement d'un endettement négatif à la date de l'amortissement. LES MODÈLES ACTUARIELS D'ÉVALUATION DES ACTIONS 295 Si l'on estime, avec Clendenin et Van Cleave (1), que le taux d'actualisation doit varier en fonction du temps et si l'on affecte des poids aux différents modes de financement pour prendre en compte la politique de l'entreprise et/ou les méthodes d'évaluation du marché, il vient : P ° = 5 OH7*? + (IIY5'' 1,5 (ï + W + (ï+tF +iriï{m a = poids des bénéfices retenus, P = poids de la dette, Y = poids de l'émission d'actions nouvelles, 0 = poids de la valeur de l'action sous l'horizon. Ce modèle, très proche du DECPLION de Sloane et Reisman ainsi que de l'équation de ce dernier (1), est très comp et mais aussi, en contrepartie, très difficile à mettre en œuvre. Aussi allons-nous maintenant montrer comment, en introduisant certaines hypothèses restrictives, il est possible de le simplifier et d'en tirer les principaux modèles proposés par d'autres auteurs. B — Les principaux modèles simplifiés Pour obtenir ces modèles, uploads/Finance/ modeles-actuariels-d-x27-evaluation-des-actions.pdf